Телескопический ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд, чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются. Название дано по аналогии с стволом телескопа, который может уменьшить свою длину, сложившись несколько раз.

Самый известный пример такого ряда — сумма , которая упрощается следующим образом:

Суть телескопических сумм заключается в том, что каждое слагаемое ряда представляется в виде разности и поэтому частичная сумма ряда упрощается:

.

Аналогично можно представить себе «телескопическое» произведение, то есть бесконечное произведение вида:

.

При суммировании условно сходящихся бесконечных рядов нужно обращать внимание, что перегруппировка слагаемых может привести к изменению результата (см. Теорема Римана об условно сходящихся рядах). Например, «парадокс» с рядом Гранди:

Этого можно избежать, если всегда рассматривать сумму первых n членов, а потом найти предел при .

Примеры[править | править вики-текст]

Многие тригонометрические функции позволяют представление в виде разности, что позволяет организовать взаимное уничтожение соответствующих слагаемых

  • иногда приходится применять «телескопическое» преобразование два раза:
.

Другой метод вычисления этой суммы — представить слагаемые в виде производной от геометрической прогрессии:

.

См. также[править | править вики-текст]