Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.
Вариация Фреше определяется как:
![{\displaystyle \times \Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})}){\Bigg |},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61302fc6523be82187d4aa6caa09d674ecf2645)
где
— действительнозначная функция, заданная на
-мерном параллелепипеде
![{\displaystyle D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708c0f02e79f0bb42a1788668217cd1293eee919)
— произвольное разбиение параллелепипеда
гиперплоскостями
такими, что
,
и
,
- где
,
.
— шаг разбиения;
(
) — приращение функции по
-ой координате;
— обобщённое приращение функции по первым
координатам (
);
(
) произвольным образом.
Если
, то говорят, что функция
имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на
. Класс всех таких функций обозначается через
.
При
этот класс был введён М. Фреше[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала
в пространстве непрерывных на квадрате
функций вида
. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде
![{\displaystyle U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{x_{l}}d_{x_{2}}u(x_{1},\;x_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6acb8a260c27cebf352d640b8b739b6f1160a0a)
где
,
.
Позднее было показано, что для
-периодических функций класса
(
) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье[2]. Так, например, если
,
, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции
в каждой точке
сходятся к числу
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a3e95801c61d0d65ca3ac35f656b7e551f8369)
где суммирование распространяется на все
возможных комбинаций знаков
. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.
- ↑ Frechet М. Transactions of the American Mathematical Society. — 1915. — v. 16. — № 3. — p. 215—234.
- ↑ Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1949. — v. 35. — № 7. — p. 395—399.