Теорема Гливенко — Кантелли

Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения $F$. Пусть ${\hat {F}}$ - выборочная функция распределения, построенная на первых $n$ элементах выборки. Тогда

$\lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|=0\;$ почти наверное,

где символ $\sup$ обозначает точную верхнюю грань.

В случае непрерывной функции распределения $F$ теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.

См. также

• Теорема Колмогорова.