Функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

Свойства[править | править вики-текст]

  • непрерывна слева:
  • не убывает на всей числовой прямой.
  • .
  • .
  • Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
    • В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества[править | править вики-текст]

Из свойств вероятности следует, что , таких что :

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;

Дискретные распределения[править | править вики-текст]

Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .

Непрерывные распределения[править | править вики-текст]

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения[править | править вики-текст]

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:

.

Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и

.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

.

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.


Многомерные функции распределения[править | править вики-текст]

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и  — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]