Функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Функции распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное , где  — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

[править | править код]

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой

.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

  • непрерывна справа[1]:
  • не убывает на всей числовой прямой.
  • .
  • .
  • Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
    • В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Внимание! Ниже записаны свойства для другого определения функции распределения - для непрерывной слева!

Из свойств вероятности следует, что , таких что :

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;

Дискретные распределения

[править | править код]

Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .

Непрерывные распределения

[править | править код]

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

[править | править код]

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:

.

Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и

.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Иногда в иностранной литературе берётся такое определение функции распределения:

.

Определённая так функция распределения будет непрерывна справа, а не слева.

Многомерные функции распределения

[править | править код]

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и  — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .

Примечания

[править | править код]
  1. Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.