Распределение вероятностей
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).
Содержание
Определение[править | править код]
Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина индуцирует вероятностную меру на следующим образом:
Мера называется распределением случайной величины . Иными словами, , таким образом задаёт вероятность того, что случайная величина попадает во множество .
Способы задания распределений[править | править код]
Определение 2. Функция называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины . Из свойств вероятности вытекает
Теорема 1. Функция распределения любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:
- — функция неубывающая;
- ;
- непрерывна справа.
Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида , вытекает
Теорема 2. Любая функция , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения .
Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания.
Дискретные распределения[править | править код]
Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где — разбиение .
Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: . Введя обозначение , можно задать функцию . Очевидно, что . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение .
Определение 4. Функция , где часто называется дискретным распределением.
Пример 1. Пусть функция задана таким образом, что и . Эта функция задаёт распределение случайной величины , для которой (распределение Бернулли).
Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:
1. ;
2. .
Решётчатые распределения[править | править код]
Определение 5. Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида , где - вещественное, , - целое[1].
Пример 2. Распределение Пуассона является решётчатым.
Пример 3. Биномиальное распределение является решётчатым.
Теорема 4. Для того, чтобы функция распределения была решётчатой с шагом , необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция удовлетворяла соотношению [1].
Доказательство.
Необходимость. Обозначим как множество, содержащее все точки разрыва функции и . Тогда характеристическая функция . Следовательно, и .
Достаточность. Если , то для некоторого вещественного . Тогда . Из этого равенства следует: В силу неотрицательности подынтегральной функции, мера множества равна нулю. Таким образом, функция распределения может иметь своими точками роста лишь точки из множества [1].
Следствием этой теоремы является следующее свойство решётчатых распределений: если решётчатая функция распределения c шагом является свёрткой функций распределения и , то и также являются решётчатыми с шагом [1].
Доказательство. Обозначим через характеристические функции функций распределения . Тогда . Так как модуль любой характеристической функции на вещественной оси не превосходит , то и доказательство завершено[1].
Непрерывные распределения[править | править код]
Непрерывное распределение — распределение, не имеющее атомов.
Абсолютно непрерывные распределения[править | править код]
Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.
Определение 6. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция тогда называется плотностью распределения случайной величины .
Пример 4. Пусть , когда , и — в противном случае. Тогда , если .
Очевидно, что для любой плотности распределения верно равенство . Верна и обратная
Теорема 5. Если функция такая, что:
- ;
- ,
то существует распределение такое, что является его плотностью.
Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.
Теорема 6. Если — непрерывная плотность распределения, а — его кумулятивная функция, то
- .
При построении распределения по эмпирическим (опытным) данным следует избегать ошибок округления.
Сингулярные распределения[править | править код]
Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры (обычно меры Лебега).
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.
Эта статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. Пожалуйста, попытайтесь изложить эту статью так, чтобы она была понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе. Подробности могут быть на странице обсуждения. |
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 21 марта 2015 года. |
![]() |
Вероятностные распределения | |
---|---|---|
Одномерные | Многомерные | |
Дискретные: | Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное | Мультиномиальное |
Абсолютно непрерывные: | Бета | Вейбулла | Гамма- | Гиперэкспоненциальное | Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma | Многомерное нормальное | Копула |