N-группа (теория групп)

N-группа — это группа, все локальные подгруппы (то есть нормализаторы нетривиальных p-подгрупп) которой разрешимы. Неразрешимые случаи Томпсон классифицировал во время работы по поиску всех минимальных конечных простых групп.

Простые N-группы

Простые N-группы классифицировал Томпсон в серии из 6 статей общим объёмом около 400 страниц.

Простые N-группы состоят из специальных линейных групп $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {PSL} _{3}(3)$, групп Сузуки $\mathrm {Sz} (2^{2n+1})$, унитарной группы $\mathrm {U} _{3}(3)$, знакопеременной группы A₇, группы Матьё M₁₁ и группы Титса. (Группа Титса была опущена в исходном докладе Томпсона в 1968, но Хирн указал, что она также является простой N-группой). Более обще, Томпсон показал, что любая неразрешимая N-группа является подгруппой Aut(G), содержащей G для некоторой простой N-группы G.

Горенстейн и Лайонс обобщили теорему Томпсона на случай групп, у которых все 2-локальные подгруппы разрешимы. Единственные простые группы, которые при этом добавилась — это унитарные группы U₃(q).

Доказательство

Горенстейн даёт сводку классификации Томпсона N-групп.

Простые числа, делящие порядок группы, делятся на четыре класса $\pi _{1},\pi _{2},\pi _{3},\pi _{4}$

• $\pi _{1}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа нетривиальна и циклическая.
• $\pi _{2}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа P является нециклической, но SCN₃(P) пуста
• $\pi _{3}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа P имеет непустую SCN₃(P) и P нормализуют нетривиальную абелеву подгруппу с порядком, взаимно простым с p.
• $\pi _{4}$ — это множество простых p, таких, что силовская p-подгруппа P имеет непустую SCN₃(P), но не нормализует нетривиальную абелеву подгруппу с порядком, взаимно простым с p.

Доказательство делится на несколько случаев, в зависимости от того, какому из этих четырёх классов простое 2 принадлежит, а также от целого e, которое является наибольшим целым, для которого существует элементарная абелева подгруппа ранга e, нормализованная нетривиальной 2-подгруппой.

• 1968 Томпсон дал общее введение, высказав главную теорему и доказав предварительные леммы.
• 1970 Томпсон описал группы E₂(3) и S₄(3) (в обозначениях Томпсона, это исключительная группа G₂(3) и симплектическая группа Sp₄(3)), которые N-группами не являются, но их описание необходимо для доказательства основной теоремы.
• 1971 Томпсон рассмотрел случай $2\notin \pi _{4}$. Теорема 11.2 показывает, что в случае $2\in \pi _{2}$ группа является группой $\mathrm {PSL} _{2}(q),\mathrm {M} _{11},A_{7},\mathrm {U} _{3}(3)$ или $\mathrm {PSL} _{3}(3)$. Возможность $2\in \pi _{3}$ исключена, показав, что любая такая группа должна быть C-группой и с помощью классификации Сузуки C-групп проверяется, что ни одна из групп, найденных Сузуки, не удовлетворяет этому условию.
• 1973 Томпсон рассмотрел случаи $2\in \pi _{4}$ и $e\geqslant 3$ или $e=2$. Он показал, что либо G является C-группой, так что это группа Сузуки, или удовлетворяет описанию групп E₂(3) и S₄(3) в его второй статье, которые не являются N-группами.
• 1974 Томпсон рассмотрел случай $2\notin \pi _{4}$ и e=1, где единственным возможным вариантом является случай, когда G является C-группой или группой Титса.

Следствия

Минимальная простая группа — это нециклическая простая группа, все собственные подгруппы которой разрешимы. Полный список минимальных простых групп дал Томпсон

• PSL₂(2^p), p простое.
• PSL₂(3^p), p нечётное простое.
• PSL₂(p), p > 3 простое, сравнимое с 2 или 3 mod 5
• Sz(2^p), p нечётное простое.
• PSL₃(3)

Другими словами, нециклические конечные простые группы должны иметь подфактор, изоморфный одной из этих групп.