N-эллипс

Пример n-эллипсов с 3 заданными фокусами. Увеличение расстояний нелинейное

N-эллипс — обобщение эллипса, имеющее более двух фокусов. N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами, полиэллипсами, k-эллипсами, эллипсами Чирнхауса. Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.

Пусть на плоскости задано n точек (u_i, v_i) (фокусы), тогда n-эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d. В виде формулы данное утверждение записывается как

$\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.$

1-эллипс представляет собой окружность, 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.

n-эллипс является подмножеством точек, удовлетворяющих определённому алгебраическому уравнению. Если n нечётно, алгебраическая степень кривой равна $2^{n}$, если n чётно, степень равна $2^{n}-{\binom {n}{n/2}}$.

Литература

• P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
• B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.