Геометрическое место точек

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Примеры[править | править код]

  • Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
  • Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
  • Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).
  • Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла и лежащих внутри него.
  • Окружность есть геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Ещё одно определение — геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до двух данных точек постоянно и не равно 1 (иначе это серединный перпендикуляр), см. окружность Аполлония.

Определение[править | править код]

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется множество точек, обладающих определенным характеристическим свойством. Иными словами, этим свойством должны обладать все точки ГМТ и только они. Чтобы определить (например, построить циркулем и линейкой) точки, удовлетворяющие набору из нескольких свойств, обычно строят геометрические места точек, удовлетворяюших этим свойствам по отдельности, а затем находят их пересечение. Преимущество такого подхода состоит в том, что большинство геометрических мест хорошо изучено и известно заранее.

Иногда для определения точки достаточно построить всего одно геометрическое место, потому что другое явно задано в условии задачи. Знание геометрических мест иногда позволяет сразу видеть, где находится неизвестная точка.

Термин "геометрическое место точек" в отечественной литературе появился еще в XIX веке, метод геометрических мест для решения задач на построение подробно разобран в геометрических пособиях того времени (А.А.Александров, "Сборник геометрических задач на построение", Е.М.Пржевальский, "Собрания геометрических теорем и задач"), а также в переводных книгах.

В англоязычной литературе используется аналогичный латинский термин locus, означающий "место".

Пример: параболу задают как множество точек таких, что расстояние от до точки равно расстоянию от до прямой . Словесная формулировка: «Парабола — геометрическое место точек , равноудалённых от точки и прямой . Точку называют фокусом параболы, а прямую  — директрисой».