Theorema Egregium

Деформация геликоида в катеноид. Деформация осуществляется путём изгиба без растяжения. В ходе процесса, гауссова кривизна поверхности в каждой точке остается постоянной.

Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. В современной формулировке теорема гласит:

Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности.

Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.

Теорема следует из формулы Гаусса — Бонне, если применить её к малым геодесизческим треугольникам.

История

Гаусс сформулировал теорему следующим образом (перевод с латыни):

Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему. Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной.

Теорема «замечательна», поскольку авторское определение гауссовой кривизны использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат никак не зависит от изометричной деформации.

Ссылки

• Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827

Литература

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.