U-критерий Манна — Уитни

U-критерий Манна — Уитни (англ. Mann–Whitney U test) — статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

Другие названия: критерий Манна — Уитни — Уилкоксона (англ. Mann–Whitney–Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона — Манна — Уитни (англ. Wilcoxon–Mann–Whitney test). Реже: критерий числа инверсий.

История

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен Г. Б. Манном и Д. Р. Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется.

Описание критерия

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг (при наличии повторяющихся элементов в выборке использовать средний ранг). Общее количество рангов получится равным $N=n_{1}+n_{2},$ где $n_{1}$ — количество элементов в первой выборке, а $n_{2}$ — количество элементов во второй выборке.
2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящих соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки $R_{1}$, и отдельно — на долю элементов второй выборки $R_{2}$, затем вычислить:

   $U_{1}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}}-R_{1}$,
   $U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{2}\cdot (n_{2}+1)}{2}}-R_{2}$,
   если всё вычислено верно, то
   $U_{1}+U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}.$,

3. Определить значение U-статистики Манна-Уитни по формуле $U=\min\{U_{1},U_{2}\}.$
4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных $n_{1}$ и $n_{2}$. Если полученное значение $U$ меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение $U$ больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение $U$.
5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание $M(U)=n_{1}n_{2}/2$ и дисперсию $D(U)=n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1)/12$ и при достаточно большом объёме выборочных данных $(n_{1}>19,n_{2}>19)$ распределён практически нормально.

Таблица критических значений

• Critical Values for the Mann — Whitney U-Test.
• Расчет критических значений U-критерия Манна — Уитни для выборок больше 20 (N>20)

См. также

• Критерий Краскела — Уоллиса — обобщение U-критерия Манна — Уитни на случай нескольких выборок.

Литература

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60.
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80—83.
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973.
• Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб., 2002.