Александровская геометрия

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

История

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера. Эта работа была забыта вплоть до 1980-х годов.

Похожие определения были переоткрыты Александром Александровым. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном.

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

• Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу;
• Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху.
  • Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.

Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 1990-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Григорием Перельманом.

Основные определения

Треугольник сравнения для тройки точек $xyz$ метрического пространства $X$ это треугольник $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ на евклидовой плоскости $\mathbb {E} ^{2}$ с теми же длинами сторон; то есть

${\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}$

Угол при вершине ${\tilde {x}}$ в треугольнике сравнения $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ называется углом сравнения тройки $xyz$ и обозначается ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$.

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства $X$ с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Первое неравенство. Для произвольных 4 точек $x,y,p,q\in X$ рассмотрим пару треугольников сравнения $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ и $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$, тогда для произвольной точки ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ выполняется неравенство

$|x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm {CAT} (0)$-неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие $\mathrm {CAT} (0)$-неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Второе неравенство. Для произвольных 4 точек $p,x,y,z\in X$ выполняется неравенство

${\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm {CBB} (0)$-неравенству, или имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизну

Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство $\mathbb {M} (k)$ — модельную плоскость кривизны $k$. То есть

• $\mathbb {M} (0)$ есть евклидова плоскость,
• $\mathbb {M} (k)$ при $k>0$ есть сфера радиуса $1/{\sqrt {k}}$,
• $\mathbb {M} (k)$ при $k<0$ есть плоскость Лобачевского кривизны $k$.

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT(k) и CBB(k) пространств и пространств кривизной $\leqslant k$ и $\geqslant k$ в смысле Александрова. В случае $k>0$, треугольник сравнения тройки $(xyz)$ считается определённым, если

$|x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}$.

Основные теоремы

• Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения
• Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам.
• Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств.
• Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана.
• Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Лекция 5, Геометрия Александрова
• Сергей Иванов. Метрическая геометрия и пространства Александрова  (неопр.). Лекториум (10.02.11).
• Сергей Иванов. Геометрия пространств Александрова  (неопр.). Лекториум (04.07.17).
• Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces". arXiv:1701.03483 [math.DG].
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. "Alexandrov geometry: foundations". arXiv:1903.08539 [math.DG].