Теорема сравнения Топоногова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.

В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти[1]. Однако его работа оставалась незамеченной целый век.[2] Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым[3] и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым[4] на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.

Вводные определения

[править | править код]

Пусть  — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы .

Обозначим через модельную плоскость кривизны . При это евклидова плоскость, при , изометрично поверхности сферы радиуса и при , есть плоскость Лобачевского кривизны .

Треугольником в называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.

Пусть есть треугольник в . Предположим в существует треугольник , с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник называется модельным треугольником треугольника в .

Заметим, что модельный треугольник всегда определён в случае если . В случае если , это верно если периметр строго меньше .

Пусть в есть модельный треугольник в . Определим модельный угол как угловую меру .

Формулировка

[править | править код]

Теорема. Пусть  — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы . Тогда углы любого треугольника в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника . Иначе говоря

для любого треугольника .

  • Предположим  — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки , функция является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической функция является вогнутой.

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии то имеет кривизну хотя бы .
  • Для каждой точки на стороне треугольника , обозначим через соответственную точку на стороне . Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
где обозначает расстояние между точками и в римановом многообразии .
  • Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
для произвольной четвёрки точек
  • Теорема Топоногова даёт полное описание метрических пространств, которые изометричны четырёточечным подмножествам полного риманова многообразия с неотрицательной кривизной.[5]
    • Известно аналогичное описание пятиточечных подмножеств.[6]

Примечания

[править | править код]
  1. Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16 (1), 1907, 6-11.
  2. Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: the forgotten originator of triangle comparison geometry. Historia Math. 38 (2011), no. 3, 415—422.
  3. А. Д . Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л.,Гостехиздат, 1948.
  4. Топоногов В. А. Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу УМН, 14:1(85) (1959), 87-130
  5. N. Lebedeva, V. Zolotov «Curvature and 4-point subspaces».
  6. arXiv:2202.13049

Литература

[править | править код]
  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
  • Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.