Бета-функция (физика)

В теоретической физике, особенно в квантовой теории поля, часто используется бета-функция, характеризующая зависимость константы взаимодействия от энергетического уровня. Сама бета-функция определяется как $\beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \,ln\,\mu }}$

Масштабная инвариантность

Если бета-функция обращается в ноль при особом значении константы взаимодействия, то КТП, константа которой описывается этой бета-функцией, называется масштабно-инвариантной. Зачастую эти теории оказываются ещё и конформно-инвариантны. Такие поля изучаются конформной теорией поля.

Примеры

Бета-функции обычно считаются в приближении, например с помощью теории возмущений, которая предполагает, что параметры связи чрезвычайно малы. Далее выполняется разложение по степеням и обрезаются более высокие степени (обычно их называют петлями, из-за соответствующего количества петель в диаграммах Фейнмана).

Квантовая электродинамика

Однопетлевая бета-функция для КЭД определяется как

$\beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}$

или с использованием постоянной тонкой структуры

$\beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}\,.$

Последняя формула следует из равенства

$\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}\,.$

Решением этого уравнения является функция

$\alpha =-{\frac {3\pi }{2\,ln\,\mu }}\,.$

Бета-функция говорит о том, что постоянная тонкой структуры возрастает вместе с энергетическим уровнем, она может даже обратиться в бесконечность при конечных энергиях (эти энергии называются полюсом Ландау). Как только бета-функция обращается в бесконечность, теория возмущений перестаёт работать.

Квантовая хромодинамика

Однопетлевая бета-функция для КХД с $n_{f}$ ароматами кварков и $n_{s}$ скалярными цветными бозонами

$\beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}$

или

$\beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}\,.$

Решением этого уравнения является функция

$\alpha _{s}={\frac {12\pi }{\left(66-n_{s}-2n_{f}\right)ln\,\mu }}\,.$

Если $n_{f}\leq 16$, то бета-функция убывает при увеличении энергетического уровня. Этот феномен называется асимптотической свободой.

Неабелева SU(N) калибровочная теория

В КХД используется калибрвочная группа $SU(3)$, определяющая 3 цвета. Мы можем обобщить бета-функцию для любого количества цветов N

$\beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(SU(N))-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}$

или

$\beta (\alpha )=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(SU(N))-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {\alpha ^{2}}{2\pi }}\,.$

Где $C_{2}$ — инвариант Казимира второго порядка от калибровочной группы, $T(R)\delta ^{ab}=tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})$, где $T_{R}^{a,b}$ — генераторы алгебры Ли в представлении $R$. Для Майорановских и Вейловских фермионов ${\frac {4}{3}}$ и ${\frac {1}{3}}$ заменить на ${\frac {2}{3}}$ и ${\frac {1}{6}}$ соответственно. Для калибровочных полей (например глюонных) в сопряжении с $SU(N)$, $C_{2}(SU(N))=N$. Для фермионов в фундаментальном представлении $SU(N)$, $T(R)={\frac {1}{2}}$. Тогда для КХД с $N=3$ бета-функция принимает вид представленный выше.

Взаимодействие Юкавы

В стандартной модели кварки и лептоны взаимодействуя с полем Хиггса через потенциал Юкавы приобретают массу. Взаимодействия большинства кварков и лептонов мало по сравнению с взаимодействием t-кварка. В динамике их можно описать с помощью бета-функции

$\beta (y)\approx \left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right){\frac {y}{16\pi ^{2}}}\,,$

где $g_{3}$ — цветовая константа взаимодействия, которая также является функцией энергии и обладает свойствами асимптотической свободы. Таким образом взаимодействия всех кварков кроме t-кварка чрезывчайно малы при энергиях Великого Объединения (около $10^{15}$ ГэВ). Аналогично можно вычислить энергии при которых кварки приобретают свои массы — около 100 ГэВ. В стандартной модели предсказанная масса t-кварка 230 ГэВ, в то время как измеренная равна 174 ГэВ, что говорит о том, что возможно существуют другие Хиггсовские бозоны.

Ссылки

1. Politzer H. David. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? (англ.) // Physical Review Letters. — 1973. — 25 June (vol. 30, no. 26). — P. 1346—1349. — ISSN 0031-9007. — doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
2. Gross David J., Wilczek Frank. Asymptotically Free Gauge Theories. I (англ.) // Physical Review D. — 1973. — 15 November (vol. 8, no. 10). — P. 3633—3652. — ISSN 0556-2821. — doi:10.1103/PhysRevD.8.3633.
3. 't Hooft Gerard. When was asymptotic freedom discovered? or The rehabilitation of quantum field theory (англ.) // Nuclear Physics B - Proceedings Supplements. — 1999. — March (vol. 74, no. 1-3). — P. 413—425. — ISSN 0920-5632. — doi:10.1016/S0920-5632(99)00207-8.
4. Pendleton B., Ross G.G. Mass and mixing angle predictions from infra-red fixed points (англ.) // Physics Letters B. — 1981. — January (vol. 98, no. 4). — P. 291—294. — ISSN 0370-2693. — doi:10.1016/0370-2693(81)90017-4.
5. Hill Christopher T. Quark and lepton masses from renormalization-group fixed points (англ.) // Physical Review D. — 1981. — 1 August (vol. 24, no. 3). — P. 691—703. — ISSN 0556-2821. — doi:10.1103/PhysRevD.24.691.