Квантовая электродинамика

Ква́нтовая электродина́мика (КЭД) — квантовополевая теория электромагнитных взаимодействий; наиболее разработанная часть квантовой теории поля. Классическая электродинамика учитывает только непрерывные свойства электромагнитного поля, в основе же квантовой электродинамики лежит представление о том, что электромагнитное поле обладает также и прерывными (дискретными) свойствами, носителями которых являются кванты поля — фотоны. Взаимодействие электромагнитного излучения с заряженными частицами рассматривается в квантовой электродинамике как поглощение и испускание частицами фотонов.

Квантовая электродинамика количественно объясняет эффекты взаимодействия излучения с веществом (испускание, поглощение и рассеяние), а также последовательно описывает электромагнитные взаимодействия между заряженными частицами. К числу важнейших проблем, которые не нашли объяснения в классической электродинамике, но успешно разрешаются квантовой электродинамикой, относятся тепловое излучение тел, рассеяние рентгеновских лучей на свободных (точнее, слабо связанных) электронах (эффект Комптона), излучение и поглощение фотонов атомами и более сложными системами, испускание фотонов при рассеянии быстрых электронов во внешних полях (тормозное излучение) и другие процессы взаимодействия электронов, позитронов и фотонов. Меньший успех теории при рассмотрении процессов с участием других частиц обусловлен тем, что в этих процессах, кроме электромагнитных взаимодействий, играют важную роль и другие фундаментальные взаимодействия (сильное взаимодействие, слабое взаимодействие).

Краткий обзор различных семейств элементарных и составных частиц, и теории, описывающие их взаимодействия. Фермионы — слева, бозоны — справа. (пункты на картинке кликабельны)

История создания теории

Квантовая электродинамика как последовательная квантовая теория поля была создана в 1940-х годах в работах Фейнмана, Швингера, Томонаги, Дайсона. Это была первая перенормируемая теория поля.

Аксиомы квантовой электродинамики

1. Каждому событию квантовой электродинамики (например, перемещению фотона или электрона из одной точки пространства-времени в другую или испусканию или поглощению фотона электроном) соответствует комплексное число – амплитуда вероятности события. Вероятность события равна квадрату модуля амплитуды вероятности события.
2. Если событие может произойти взаимоисключающими способами, амплитуды вероятностей событий складываются. Если событие происходит поэтапно, или в результате ряда независимых событий, амплитуды вероятностей событий перемножаются.

Математическая формулировка

Математически, КЭД - это абелевая калибровочная теория поля с группой симметрии U(1). Калибровочное поле, которое переносит взаимодействие между заряженными полями спина-1/2, является электромагнитным полем. Лагранжиан КЭД для поля спина-1/2 взаимодействующего с электромагнитным полем равен действительной части от следующего выражения

$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

где

$\gamma^\mu$ - матрицы Дирака;

$\psi$ - биспинорное поле спина-1/2 (т. е. электрон-позитронное поле);

$\bar\psi\equiv\psi^\dagger\gamma_0$, называемое "пси-бар";

$D_\mu \equiv \partial_\mu+ieA_\mu+ieB_\mu \,\!$ - ковариантная производная;

e постоянная тонкой структуры;

A_μ - ковариантный 4-потенциал;

B_μ внешнее поле;

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$ - тензор электромагнитного поля.

Вычислительные методы квантовой электродинамики

Метод возмущений

Основным вычислительным методом квантовой электродинамики является метод возмущений. В нулевом приближении электромагнитным взаимодействием пренебрегают и частицы считаются невзаимодействующими. В первом, втором и т.д. приближениях учитываются однократные, двукратные и т.д. акты взаимодействия между частицами. Вероятность каждого акта взаимодействия пропорциональна заряду частицы $e$. Чем больше актов взаимодействия рассматривается, тем в более высокой степени входит заряд в выражение для амплитуды вероятности процесса. Вычисления в квантовой электродинамике заключаются в нахождении из лагранжиана, описывающего взаимодействие элементарных частиц, эффективных сечений реакций и скоростей распада частиц. Для вычислений по методу возмущений используется метод диаграмм Фейнмана, при помощи которых вычисляются матричные элементы, входящие в выражения для вероятностей переходов.

Важнейшие результаты в КЭД

• аномальный магнитный момент электрона и мюона
• лэмбовский сдвиг

Современные направления исследований в КЭД

• Нелинейная КЭД
• КЭД во внешних полях
• Некоммутативная КЭД

Опыты по проверке квантовой электродинамики

Дифференциальное и полное сечения рассеяния комптон-эффекта, процесса рассеяния электрона на электроне и позитроне, процессов взаимодействия $\gamma$ - квантов с атомами и ядрами, аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг электрона с выской точностью совпадают с расчетами квантовой электродинамики.

Нерешенные проблемы квантовой электродинамики

Энергия вакуума

Вакуумом в квантовой электродинамике называется состояние, в котором у всех осцилляторов $n = 0$, следовательно энергия каждого осциллятора равна $\frac{\hbar \omega}{2}$, где $\omega$ - собственная частота осциллятора. Сумма всех мод осциляторов с частотами от нуля до бесконечности равна бесконечности. На практике этой расходимостью пренебрегают и энергию вакуумного состояния принимают равной нулю. Остается открытым вопрос: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобно массе, распределенной с постоянной плотностью? По "правилу обрезания" моды с очень большими частотами исключаются из рассмотрения. Плотность энергии вакуумного состояния $\frac{E}{V} = 2 \frac{\hbar c}{2{(2 \pi)}^{3}} \int \limits_{0}^{k_{max}} k * 4 \pi k^{2} dk = \frac{\hbar c k_{max}^{4}}{8 \pi^{2}}$. Подставляя значение $k_{max} = \frac{Mc}{\hbar}$, где $M$ - масса протона, получаем значение плотности массы, эквивалентное этой энергии: $m_{vak} = \frac{E}{V c^{2}} = 2 * 10^{15}$ грамм на кубический сантиметр пространства. Гравитационные эффекты, соответствующие этой энергии вакуума, не обнаружены. Не удается вычислить энергию вакуума как собственное значение для гамильтониана вакуумного состояния, а при применении методов теории возмущений к расчету вероятности перехода из вакуумного состояния в состояние с фотоном и электронно-позитронной парой получаются расходящиеся интегралы.

Расходимость рядов

При расчете вероятностей процессов в квантовой электродинамике методом возмущений к выражению для амплитуды процесса последовательно добавляются слагаемые вида $n! \alpha^n$, где $\alpha$ - постоянная тонкой структуры, $n$ - число вершин на диаграммах Фейнмана в данном приближении. Ряды вида $\sum_{n=1}^{\infty}n! \alpha^n$, являются расходящимися. В опытах данная расходимость не проявляется, поскольку предельная точность вычислений при помощи таких рядов составляет $10^{-57}%$

Расходимость интегралов

Требование локальности взаимодействия между частицами в квантовой электродинамике приводит к тому, что интегралы по пространству, описывающие процессы взаимодействия частиц, оказываются расходящимися за счет больших импульсов виртуальных частиц. Это свидетельствует о неприменимости принятых в квантовой электродинамике методов описания взаимодействий на малых расстояниях.

См. также

• Нерешённые проблемы современной физики

Литература

• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. М.: Наука, 1988. 144 с. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 66.
• Физическая энциклопедия (гл. редактор А. М. Прохоров) — Квантовая электродинамика
• Грибов В.Н.. Квантовая электродинамика.— Ижевск: РХД, 2001. — 288 с.
• Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с
• Вмдео Лекции: Квантовая электродинамика (профессор Фадин В.С., 2013 г.)
• Кейн Г. Современная физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1990. — 360 с. — ISBN 5-03-001591-4.