Квантовая электродинамика

Ква́нтовая электродина́мика (КЭД) — квантовополевая теория электромагнитных взаимодействий; наиболее разработанная часть квантовой теории поля. Классическая электродинамика учитывает только непрерывные свойства электромагнитного поля, в основе же квантовой электродинамики лежит представление о том, что электромагнитное поле обладает также и прерывными (дискретными) свойствами, носителями которых являются кванты поля — фотоны. Взаимодействие электромагнитного излучения с заряженными частицами рассматривается в квантовой электродинамике как поглощение и испускание частицами фотонов.

Квантовая электродинамика количественно объясняет эффекты взаимодействия излучения с веществом (испускание, поглощение и рассеяние), а также последовательно описывает электромагнитные взаимодействия между заряженными частицами. К числу важнейших проблем, которые не нашли объяснения в классической электродинамике, но успешно разрешаются квантовой электродинамикой, относятся тепловое излучение тел, рассеяние рентгеновских лучей на свободных (точнее, слабо связанных) электронах (эффект Комптона), излучение и поглощение фотонов атомами и более сложными системами, испускание фотонов при рассеянии быстрых электронов во внешних полях (тормозное излучение) и другие процессы взаимодействия электронов, позитронов и фотонов. Меньший успех теории при рассмотрении процессов с участием других частиц обусловлен тем, что в этих процессах, кроме электромагнитных взаимодействий, играют важную роль и другие фундаментальные взаимодействия (сильное и слабое).

Краткий обзор различных семейств элементарных и составных частиц и теории, описывающие их взаимодействия. Элементарные частицы слева — фермионы, справа — бозоны. (Термины — гиперссылки на статьи ВП)

История создания теории

Квантовая электродинамика как последовательная квантовая теория поля была создана в 1940-х годах в работах Фейнмана, Швингера, Томонаги, Дайсона. Это была первая перенормируемая теория поля.

Аксиомы квантовой электродинамики

1. Каждому событию квантовой электродинамики (например, перемещению фотона или электрона из одной точки пространства-времени в другую или испусканию или поглощению фотона электроном) соответствует комплексное число — амплитуда вероятности события. Вероятность события равна квадрату модуля амплитуды вероятности события.
2. Если событие может произойти взаимоисключающими способами, амплитуды вероятностей событий складываются. Если событие происходит поэтапно, или в результате ряда независимых событий, амплитуды вероятностей событий перемножаются.

Математическая формулировка

Математически, КЭД — это абелева калибровочная теория поля с группой симметрии U(1). Калибровочное поле, которое переносит взаимодействие между заряженными полями спина 1/2, является электромагнитным полем. Лагранжиан КЭД для поля спина 1/2 (электронно-позитронного поля), взаимодействующего с электромагнитным полем, равен сумме лагранжианов электрон-позитронного поля (первый член суммы), фотонного поля (второй член суммы) и слагаемого, описывающего взаимодействие электромагнитного поля с электронно-позитронным полем (излучение фотона электроном и рождение фотоном электронно-позитронных пар) (третий член суммы):

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{2}}\partial _{k}A^{i}(x)\partial ^{k}A_{i}(x)-eA_{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ,$

где

$\gamma ^{\mu }$ — матрицы Дирака,

$\psi$ — оператор биспинорного поля спина 1/2 (то есть электрон-позитронного поля),

${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma _{0}$, дираковски сопряжённая $\psi$,

$D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }$ — ковариантная производная,

$m$ — масса фермиона,

$e$ — заряд фермиона,

$A_{\mu }$ — оператор фотонного поля (ковариантный 4-потенциал в классической теории поля),

$B_{\mu }$ — внешнее поле,

Операторы электронного $\psi$ и фотонного $A$ полей удовлетворяют системе уравнений (уравнения Дирака-Максвелла):

$(\gamma ^{k}(i\partial _{k}-eA_{k}(x)-eB_{k})-m)\psi (x)=0$

$\square ^{2}A_{k}(x)=e{\bar {\psi }}(x)\gamma _{k}\psi (x)$

Эти уравнения дополняются калибровочным условием Лоренца:

$A_{,k}^{k}\vert 0\rangle =0$

Вычислительные методы квантовой электродинамики

Метод возмущений

Основным вычислительным методом квантовой электродинамики является метод возмущений. В нулевом приближении электромагнитным взаимодействием пренебрегают и частицы считаются невзаимодействующими. В первом, втором и т. д. приближениях учитываются однократные, двукратные и т. д. акты взаимодействия между частицами. Вероятность каждого акта взаимодействия пропорциональна заряду частицы $e$. Чем больше актов взаимодействия рассматривается, тем в более высокой степени входит заряд в выражение для амплитуды вероятности процесса. Вычисления в квантовой электродинамике заключаются в нахождении из лагранжиана, описывающего взаимодействие элементарных частиц, эффективных сечений реакций и скоростей распада частиц. Для вычислений по методу возмущений используется метод диаграмм Фейнмана, при помощи которых вычисляются матричные элементы, входящие в выражения для вероятностей переходов.

Важнейшие результаты в КЭД

• аномальный магнитный момент электрона и мюона
• лэмбовский сдвиг

Современные направления исследований в КЭД

• Нелинейная КЭД
• КЭД во внешних полях
• Некоммутативная КЭД

Опыты по проверке квантовой электродинамики

Дифференциальное и полное сечения рассеяния комптон-эффекта, процесса рассеяния электрона на электроне и позитроне, процессов взаимодействия $\gamma$ — квантов с атомами и ядрами, аномальный магнитный момент и лэмбовский сдвиг электрона с высокой точностью совпадают с расчетами квантовой электродинамики.

Нерешенные проблемы квантовой электродинамики

Энергия вакуума

Вакуумом в квантовой электродинамике называется состояние, в котором у всех осцилляторов $n=0$, следовательно энергия каждого осциллятора равна ${\frac {\hbar \omega }{2}}$, где $\omega$ — собственная частота осциллятора. Сумма всех мод осцилляторов с частотами от нуля до бесконечности равна бесконечности. На практике этой расходимостью пренебрегают и энергию вакуумного состояния принимают равной нулю. Остается открытым вопрос: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобно массе, распределенной с постоянной плотностью? По «правилу обрезания» моды с очень большими частотами исключаются из рассмотрения. Плотность энергии вакуумного состояния ${\frac {E}{V}}=2{\frac {\hbar c}{2{(2\pi )}^{3}}}\int \limits _{0}^{k_{max}}k\cdot 4\pi k^{2}dk={\frac {\hbar ck_{max}^{4}}{8\pi ^{2}}}$. Подставляя значение $k_{max}={\frac {Mc}{\hbar }}$, где $M$ — масса протона, получаем значение плотности массы, эквивалентное этой энергии: $m_{vak}={\frac {E}{Vc^{2}}}=2\cdot 10^{15}$ грамм на кубический сантиметр пространства. Гравитационные эффекты, соответствующие этой энергии вакуума, не обнаружены. Не удается вычислить энергию вакуума как собственное значение для гамильтониана вакуумного состояния, а при применении методов теории возмущений к расчету вероятности перехода из вакуумного состояния в состояние с фотоном и электронно-позитронной парой получаются расходящиеся интегралы.

Расходимость рядов

При расчете вероятностей процессов в квантовой электродинамике методом возмущений к выражению для амплитуды процесса последовательно добавляются слагаемые вида $n!\alpha ^{n}$, где $\alpha$ — постоянная тонкой структуры, $n$ — число вершин на диаграммах Фейнмана в данном приближении. Ряды вида $\sum _{n=1}^{\infty }n!\alpha ^{n}$, являются расходящимися. В опытах данная расходимость не проявляется, поскольку предельная точность вычислений при помощи таких рядов составляет $10^{-57}\%$

Расходимость интегралов

Требование локальности взаимодействия между частицами в квантовой электродинамике приводит к тому, что интегралы по пространству, описывающие процессы взаимодействия частиц, оказываются расходящимися за счет больших импульсов виртуальных частиц. Это свидетельствует о неприменимости принятых в квантовой электродинамике методов описания взаимодействий на малых расстояниях.

См. также

• Нерешённые проблемы современной физики
• Нелокальная квантовая электродинамика

Литература

• Фейнман Р. КЭД — странная теория света и вещества. М.: Наука.— 1988.— 144 с. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 66.
• Физическая энциклопедия (гл. редактор А. М. Прохоров) — Квантовая электродинамика
• Грибов В. Н. Квантовая электродинамика.— Ижевск: РХД, 2001. — 288 с.
• Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит.— 2002.— 720 с
• Видео Лекции: Квантовая электродинамика (профессор Фадин В. С., 2013 г.)
• Кейн Г. Современная физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1990. — 360 с. — ISBN 5-03-001591-4.
• Вальтер Е. Тирринг. Принципы квантовой электродинамики. — М.: Высшая школа, 1964. — 225 с.