Гиперболичность в смысле Громова

Гиперболичность в смысле Громова или $\delta$-гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения.

Определение

Пространство $X$ является $\delta$-гиперболичным если для любых точек $x,y,z\in X$ выполнялось

$(x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,$

где $(x,y)_{p}$ обозначает произведение Громова:

$(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|x-y|_{X}+|x-z|_{X}-|y-z|_{X}{\big )}.$

Последнее неравенество эквивалентно выполнению

$|p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\}+2\cdot \delta$

для любых точек $p,q,x,y\in X$.

Есть много других определений (иногда отличающихся изменением $\delta$ в несколько раз). Например следующее: если пространство $X$ геодезическое, то это условие эквивалентно тому, что для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в $\delta$-окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на кратчайшей [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в $\delta$-окрестности [xz], а [ty] лежит в $\delta$-окрестности [zy].

Свойства

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию $\mathbb {R} ^{2}$, оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда^{[прояснить]} не может быть гиперболическим.
• Инъективная оболочка $\delta$-гиперболического пространства $\delta$-гиперболическая.
  • В частности, любое $\delta$-гиперболическое пространство изометрично подмножеству в геодезическом $\delta$-гиперболическом пространстве.

Примеры

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова. Полагая, что кривизна равна $-1$ плоскость Лобачевского является $\ln(2)$-гиперболической (в смысле четырёхточеного определения).
  • Более того, любое $\mathrm {CAT} (-1)$ пространство $\ln(2)$-гиперболично.

Ссылки

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.