Гладкое расслоение

Гладкое расслоение — локально тривиальное расслоение с гладкими функциями перехода.

Определение

Пусть $Y$ и $X$ — гладкие многообразия. Эпиморфизм многообразий $\pi \colon Y\to X$ называется гладким расслоением, если существуют: открытое покрытие $(U_{i})$ многообразия $X$, многообразие $V$ и семейство диффеоморфизмов $\varphi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times V$, связанных гладкими функциями перехода $\rho _{ij}=\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}$ на $(U_{i}\cap U_{j})\times V$.

Гладкое расслоение является локально тривиальным расслоением с пространством расслоения $Y$, базой $X$, типичным слоем $V$ и атласом расслоения $(U_{i},\;\varphi _{i},\;\rho _{ij})$. Замкнутое подмногообразие $\pi ^{-1}(x)\subset Y$ называется типичным слоем гладкого расслоения в точке $x\in X$.

Примеры

• Векторное расслоение, в частности касательное расслоение
• Главное расслоение

Свойства

• Пространство расслоения $Y$ наделено координатным атласом $(x^{\mu },\;y^{a})$, где $(y^{a})$ — координаты на $V$ и $(x^{\mu })$ — координаты на $X$, функции перехода которых не зависят от координат $(y^{a})$.
• Для всякой точки $x\in X$ существует открытая окрестность $U$ и вложение $s\colon U\to Y$, такое что $\pi \circ s=\mathrm {Id} \,(U)$. Это отображение называется (локальным) сечением гладкого расслоения.

Вариации и обобщения

• Слоение
• Суперрасслоение
• Градуированное расслоение
• Банахово и гильбертово расслоения

Литература

• Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology, vol. I—III. — N. Y.: Academic Press, 1972—1976.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4..
• Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886