Главное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.

Определение

[править | править код]

Пусть  — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой (или -главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение , снабжённое непрерывным правым действием группы , сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен , а база  — множеству орбит .

Ассоциированное расслоение

[править | править код]

Расслоение ассоциированное с данным -главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой . Точнее, пусть  — главное расслоение,  — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве . Определим правое действие на :

Рассмотрим факторпространство и определим проекцию . Тогда  — локально тривиальное расслоение со структурной группой , называемое ассоциированным с .

В теории калибровочных полей связности Эресманна[англ.] на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

  • Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно ) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение .
  • Расслоение реперов многообразия , имеющее структурную группу .
  • Пусть  — группа Ли,  — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой , структурной группой и проекцией .
  • Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой , структурной группой и тотальным пространством .
  • Регулярное накрытие является главным расслоением со структурной группой , действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы .

Литература

[править | править код]