Касательное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)

Касательное расслоение гладкого многообразия  — есть векторное расслоение над , слой которого в точке является касательным пространством в точке . Касательное расслоение обычно обозначается .

Элемент тотального пространства  — это пара , где и . Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность равна удвоенной размерности .

Топология и гладкая структура[править | править вики-текст]

Если  — -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт , где  — открытое подмножество и

гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на порождают изоморфизм между и для любого . Можно определить отображение

как

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на .

Подмножество из открыто тогда и только тогда, когда  — открытое в для любого . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств и , поэтому они образуют карты гладкой структуры на . Функции перехода на пересечениях карт задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств .

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение -мерного многообразия можно определить как векторное расслоение ранга над , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Простейший пример получается для . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции .
  • Единичная окружность . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
  • Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой и единичной окружности , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-хмерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля[править | править вики-текст]

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии , значение которой в каждой точке — вектор, касательный к , то есть гладкое отображение

такое, что образ , обозначаемый , лежит в — касательном пространстве в точке . На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на  — это сечение касательного расслоения над .

Множество всех векторных полей над обозначается . Векторные поля можно складывать поточечно:

и умножать на гладкие функции на

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на (обозначается ).

Если есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля даёт новую гладкую функцию . Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

  • Аддитивность: .
  • Правило Лейбница: .

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на  — это локальная сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве из , при этом в каждой точке из задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над .

Каноническое векторное поле на TM[править | править вики-текст]

На каждом касательном расслоении можно определить каноническое векторное поле. Если  — локальные координаты на , то векторное поле имеет вид

является отображением .

Существование такого векторного поля на можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
  • Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
  • Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.