Классификатор подобъектов

В теории категорий, классификатор подобъектов — специальный объект Ω категории; интуитивно, подобъекты X соответствуют морфизмам из X в Ω. Способ, которым он «классифицирует» объекты можно описать как присвоение некоторым элементам X значения «истина».

Вводный пример

В категории множеств классификатором подобъектов является множество Ω = {0,1}: каждому подмножеству A произвольного множества S можно сопоставить его характеристическую функцию — функцию из S в Ω, принимающую значение 1 на подмножестве A и 0 на его дополнении, и обратно, любая функция из S в Ω является характеристической функцией некоторого подмножества. Если χ_A — некоторая характеристическая функция на множестве S, следующая диаграмма является декартовым квадратом:

Здесь true: {0} → {0, 1} — отображение, переводящее 0 в 1.

Определение

В общем случае можно рассмотреть произвольную категорию C, имеющую терминальный объект, который мы будем обозначать 1. Объект Ω категории C — классификатор подобъектов C, если существует морфизм

1 → Ω

со следующим свойством:

для любого мономорфизма j: U → X существует единственный морфизм χ _j: X → Ω, такой что квадрат

является декартовым, то есть U — предел диаграммы

Морфизм χ _j называется классифицирующим морфизмом для подобъекта, представленного мономорфизмом j.

См. также

• Топос (математика)

Примечания

• Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Artin Michael, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géometrie Algébrique IV (неопр.). — Springer-Verlag, 1964.
• Mac Lane, Saunders; Ieke Moerdijk. Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory (англ.). — Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-387-97710-4.