Мономорфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мономорфи́змморфизм m:A\to B категории \mathcal C, такой что из всякого равенства m\circ f=m\circ h следует, что f=h (другими словами, на m можно сокращать слева). Часто мономорфизм из X в Y обозначают X \hookrightarrow Y.

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. Отметим, что для того, чтобы стрелка была изоморфизмом, в общем случае не достаточно её мономорфности и эпиморфности.

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостью[править | править исходный текст]

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если l — левый обратный к f (то есть l \circ f = \operatorname{id}_{X}), то

f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow lfg_1 = lfg_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории Grp всех групп, если H является подгруппой G, то вложение f : HG — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм f : GH существует, только если у H есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм f : X \to Y является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение f_{*} : \mathrm{Hom} ( Z, X ) \to \mathrm{Hom} ( Z, Y ), определенное как f_{*}h = f \circ h для морфизмов h : Z \to X, инъективно для всех Z.

Связь с инъективностью[править | править исходный текст]

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъктивным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории Div делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации q : QQ/Z.

Типы мономорфизмов[править | править исходный текст]

  • Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
  • Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм. Более подробно, если экстремальный мономорфизм представлен в виде g ∘ e с эпиморфизмом e, то e — изоморфизм.

Терминология[править | править исходный текст]

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн, Саундерс попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и «monic maps» — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.

Литература[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]