Комплексная проективная плоскость

Запрос «Метрика Фубини — Штуди»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

Обычно обозначается $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$.

Построение

Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами

$(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\neq (0,0,0).$

При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:

$(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

Топология

• $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ гомеоморфно фактору 5-мерной сферы $\mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3}$ по действию Хопфа $\mathbb {S} ^{1}$.

• Числа Бетти:

  1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

• $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ односвязно, его фундаментальная группа тривиальна.
• Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются

  $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$.

в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.

Алгебраическая геометрия

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P³ получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P³ путём проведения прямых через P.

Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.

Дифференциальная геометрия

Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1}$ по действию Хопфа $\mathbb {S} ^{1}$ на $\mathbb {S} ^{5}$.

См. также

• Поверхность дель Пеццо
• Торическая геометрия
• Фальшивая проективная плоскость

Литература

• П.С. Александров. Курс аналитической геометрии из линейной алгебры. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — С. 598.
• C. E. Springer. Geometry and Analysis of Projective Spaces. — W. H. Freeman and Company, 1964. — С. 140–3.
• М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — ISBN 5-93972-020-X.
• Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.