Комплексная проективная плоскость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Комплексная проективная плоскость — двумерное комплексное проективное пространство[англ.]; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

Обычно обозначается .

Построение

[править | править код]

Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами

При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:

  • гомеоморфно фактору 5-мерной сферы по действию Хопфа .
в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.

Алгебраическая геометрия

[править | править код]

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P3 получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P3 путём проведения прямых через P.

Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.

Дифференциальная геометрия

[править | править код]

Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе по действию Хопфа на .

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • П.С. Александров. Курс аналитической геометрии из линейной алгебры. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — С. 598.
  • C. E. Springer. Geometry and Analysis of Projective Spaces. — W. H. Freeman and Company, 1964. — С. 140–3.
  • М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — ISBN 5-93972-020-X.
  • Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.