Матрица Сильвестра

Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814—1897).

Определение

Пусть даны многочлены

A(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}

,

B(x)=\sum _{i=0}^{m}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}

.

Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица $(n+m)\times (n+m)$ вида

S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &\cdots &a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &\cdots &b_{0}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{m}&\cdots &\cdots &b_{1}&b_{0}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&b_{m}&\cdots &b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}

.

Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена $a(x)$ , равно $m$ , а многочлена $b(x)$ — $n$ . Результант многочленов находится как определитель этой матрицы:

R(A,B)=\det S_{A,B}

.

Для многочленов

A(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

,

B(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}

матрица Сильвестра будет выглядеть так:

S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}&0\\0&b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}

.