Матричная оптика

Матричная оптика - математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть $y_{1}$ — "высота" луча над главной оптической осью системы, $v_{1}$ — приведенный угол: $v_{1}=n\times \alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
${\begin{bmatrix}y_{2}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}y_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}$,

где ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$ — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

$M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}$, $\Phi _{1}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}$, где $n_{1}$ и $n_{2}$ — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с $n_{1}$ в среду с $n_{2}$), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало

$M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}$, $\Phi _{2}=-{\frac {2\cdot n}{R}}$, где $n$ — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
$M={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}$, $T={\frac {d}{n}}$, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. $M=M_{n}\times \cdot \cdot \cdot \times M_{2}\cdot M_{1}$, где $M_{i}$ - матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
$\Phi =-C$
$B=0,y_{2}=A\cdot y_{1}$ - общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны $R_{1},R_{2}$ (для определенности - двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов - двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:

$M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}$
$M_{2}={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}$
$M_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}$
Матрица всей оптической системы:
$M=M_{3}\cdot M_{2}\cdot M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-T\Phi _{1}&T\\T\Phi _{1}\Phi _{2}-\Phi _{1}-\Phi _{2}&1-T\Phi _{2}\end{bmatrix}}$
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
$\Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}-{\frac {d\Phi _{1}\Phi _{2}}{n}}$
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
$\Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}$
С учетом $\Phi _{1}={\frac {n-1}{R_{1}}},\Phi _{2}={\frac {n-1}{R_{2}}}$
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: $\Phi =(n-1)\cdot \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)$.

Литература

• Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
• Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.