Многочлен Эрара
Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в раз.
Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии ) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.
Названы в честь Эжена Эрара[англ.], который изучал их в 1960-х годах.
Определение
[править | править код]Пусть — многогранник с целыми вершинами, и — его гомотетия с целым коэффициентом . Обозначим через число целых точек в . Можно доказать, что число выражается как многочлен от ; этот многочлен и называется многочленом Эрара.
Примеры
[править | править код]- для единичного целого -мерного куба .
Свойства
[править | править код]- (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в равно
- где d — размерность P.
- Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.[1]
- Для любого -мерного многогранника , три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
- свободный член многочлена Эрара равен 1.
- Главный коэффициент при равен объёму многогранника.
- Коэффициент при равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
- В частности, при многочлен Эрара многоугольника равен
- где есть площадь многоугольника, а — число целочисленных точек на его границе. Подставив , получаем формулу Пика.
Примечания
[править | править код]- ↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Сборник «Математическое просвещение». Третья серия. — 2017. — Вып. 21. — С. 104—118.