Решётка (теория групп)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Решётка в теории групп может иметь два значения:

  • Дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.
  • Свободная коммутативная группа конечного ранга (то есть изоморфная ) с билинейной формой на ней.

Решётки в евклидовом пространстве[править | править вики-текст]

В случае , решётки — в точности дискретные абелевы подгруппы максимального вектора, то есть подгруппы, имеющие вид

где вектора линейно независимы

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Решётка называется:

  • Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:
  • Чётной, если норма[1] любого её вектора чётная:
  • Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке называется решётка , определённая как

Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если решётка целая, то .
  • Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
  • Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
  • Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Решётки в SL(2,R)[править | править вики-текст]

В случае группы Ли , решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы объём фактора по ней конечен, однако не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В теории решёток в евклидовом пространстве, принято называть нормой не длину вектора, а её квадрат.

Литература[править | править вики-текст]

  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.