Обобщённый четырёхугольник

«Салфетка» GQ(2,2)

Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности, главное свойство которой — отсутствие треугольников (однако структура содержит много четырёхугольников). Обобщённый четырёхугольник является по определению полярным пространством ранга два. Обобщённые четырёхугольники являются обобщёнными многоугольниками с n = 4 и почти 2n-угольниками с n = 2. Они являются также в точности частичными геометриями pg(s,t,α) с α = 1.

Определение

Обобщённый четырёхугольник — это структура инцидентности (P,B, I), где $\mathrm {I} \subseteq P\times B$ — отношение инцидентности, удовлетворяющее определённым аксиомам. Элементы P по определению являются вершинами (точками) обобщённого четырёхугольника, элементы B — прямыми. Аксиомы следующие:

• Существует число s (s ≥ 1), такое, что на любой прямой имеется в точности s + 1 точек. Существует максимум одна точка на двух различных прямых.
• Существует число t (t ≥ 1), такое, что через любую точку проходит в точности t + 1 прямых. Существует максимум одна прямая через две различные точки.
• Для любой точки p, не лежащей на прямой L, существует единственная прямая M и единственная точка q, такие, что p лежит на M, а q лежит на M и L.

Пара чисел (s,t) является параметрами обобщённого четырёхугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если либо число s, либо t равно единице, обобщённый четырёхугольник называется тривиальным. Например, решётка 3x3 с P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} является тривиальным обобщённым четырёхугольником с s = 2 и t = 1. Обобщённый четырёхугольник с параметрами (s,t) часто обозначается как GQ(s,t) (от английского Generalized Quadrangle).

Наименьший нетривиальный обобщённый четырёхугольник — GQ(2,2), представление которого в 1973 Стэн Пейн назвал «салфеткой».

Свойства

• $|P|=(st+1)(s+1)$
• $|B|=(st+1)(t+1)$
• $(s+t)|st(s+1)(t+1)$
• $s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}$
• $t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}$

Графы

Рёберный граф обобщённого четырёхугольника GQ(2,4)

Есть два интересных графа, которые можно получить из обобщённого четырёхугольника.

• Граф коллинеарности, содержащий все точки обобщённого четырёхугольника в качестве вершин, в котором коллинеарные точки соединены ребром. Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), где (s,t) — порядок четырёхугольника.
• Граф инцидентности, вершинами которого являются все точки и прямые обобщённого четырёхугольника и две вершины смежны, если одна вершина соответствует прямой, а другая — точке на этой прямой. Граф инцидентности обобщённого четырёхугольника связен и является двудольным графом с диаметром четыре и обхватом восемь. Таким образом, обобщённый четырёхугольник является примером клетки. Графы инцидентности конфигураций в настоящее время называют графами Леви, однако исходный граф Леви был графом инцидентности обобщённого четырёхугольника GQ(2,2).

Двойственность

Если (P,B,I) — обобщённый четурёхугольник с параметрами (s,t), тогда (B,P,I⁻¹) также является обобщённым четырёхугольником (здесь I⁻¹ означает обратное отношение инцидентности). Этот четырёхугольник называется двойственным обобщённым четырёхугольником. Его параметрами будет пара (t,s). Даже при s = t двойственная структура не обязательно изоморфна исходной структуре.

Обобщённые четырёхугольники с размером прямых 3

Существует в точности пять (допускается вырождение) обобщённых четырёхугольников, в которых каждая прямая имеет три инцидентные ей точки

1. четырёхугольник с пустым множеством прямых
2. четырёхугольник, в котором все прямые проходят через фиксированную точку, что соответствует мельнице Wd(3,n)
3. решётка размером 3x3
4. четырёхугольник W(2)
5. обобщённый четырёхугольник GQ(2,4)

Эти пять четырёхугольников соответствуют пяти системам корней в ADE классах A_n, D_n, E₆, E₇ и E₈ , т.е. однониточные системы корней (это означает, что в диаграммах Дынкина элементы не имеют кратных связей).

Классические обобщённые четырёхугольники

Если рассматривать различные виды полярных пространств ранга по меньшей мере три и экстраполировать их на ранг 2, можно обнаружить эти (конечные) обобщённые четырёхугольники:

• Гиперболическая поверхность второго порядка (квадрика) $Q^{+}(3,q)$, параболическая квадрика $Q(4,q)$ и эллиптическая квадрика $Q^{-}(5,q)$ являются единственными возможными квадриками в проективных пространствах над конечными полями с проективным индексом 1. Параметры этих квадриков:

$Q(3,q):\ s=q,t=1$ (это просто решётка)

$Q(4,q):\ s=q,t=q$

$Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}$

• Эрмитово многообразие $H(n,q^{2})$ имеет проективный индекс 1 тогда и только тогда, когда n равно 3 или 4. Мы имеем:

$H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q$

$H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}$

• Симплектическая полярность в $PG(2d+1,q)$ имеет максимальное изотропное подпространство размерности 1 тогда и только тогда, когда $d=1$. Здесь мы имеет обобщённый четырёхугольник $W(3,q)$, с параметрами $s=q,t=q$.

Обобщённый четырёхугольник, производный от $Q(4,q)$ всегда изоморфен двойственной структуре к $W(3,q)$, обе структуры самодвойственны, а потому изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда $q$ чётно.

Неклассические примеры

• Пусть O — гиперовал в $PG(2,q)$ с q, равным чётной степенью простого числа, и вложение этой проективной (дезарговой) плоскости $\pi$ в $PG(3,q)$. Теперь рассмотрим структуру инцидентности $T_{2}^{*}(O)$, в которой все точки являются точками, не лежащими на $\pi$. Прямые этой структуры — это точки, не лежащие в $\pi$ и пересекающие $\pi$ в точке O, а инцидентность определяется естественным образом. Это (q-1,q+1)-обобщённый четырёхугольник.
• Пусть q — степень простого числа (нечётная или чётная). Рассмотрим симплектическую полярность $\theta$ в $PG(3,q)$. Выберем случайную точку p и определим $\pi =p^{\theta }$. Пусть прямыми нашей структуры инцидентности будут все абсолютные прямые, не лежащие в $\pi$, вместе со всеми прямыми, проходящими через точку p, но не лежащими на $\pi$, а точками — все точки $PG(3,q)$, не лежащие на $\pi$. Отношением инцидентности будет естественная инцидентность. Мы получили опять (q-1,q+1)-обобщённый четырёхугольник.

Ограничения на параметры

Для решёток и двойственных решёток для любого целого числа z, z ≥ 1 есть обобщённые четырёхугольники с параметрами (1,z) и (z,1). Кроме этого случая, лишь следующие параметры найдены допустимыми (здесь q — произвольная степень простого числа):

$(q,q)$

$(q,q^{2})$ и $(q^{2},q)$

$(q^{2},q^{3})$ и $(q^{3},q^{2})$

$(q-1,q+1)$ и $(q+1,q-1)$