Псевдодуга
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Псевдодуга — простейший пример континуума , который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.
Построение
[править | править код]Непрерывное отображение из отрезка на отрезок называется -скрюченным если для любых значений в интервале найдутся значения такие, что
- и .
Псевдодугу можно построить как проективный предел последовательности -скрюченных отображений для подходящей последовательности достаточно быстро сходящейся к нулю.
Связанные определения
[править | править код]
- Континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие , такое, что тогда и только тогда, когда .
Свойства
[править | править код]- Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
- Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
- В частности, псевдодуга не содержит жордановых дуг
- Существует область в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум гомеоморфен псевдодуге.
- Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
- В пространстве всех подконтинуумов куба , с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G-дельта-множество.[1]
- Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.
История
[править | править код]Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910 году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером.[2] Вскоре пример был построен Кнастером[3].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- И. М. Виноградов. Псевдодуга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . — 1977—1985.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |