Покрытие (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами[1].

Определения[править | править вики-текст]

  • Пусть дано множество . Семейство множеств называется покрытием , если
  • Пусть дано топологическое пространство , где  — произвольное множество, а  — определённая на топология. Тогда семейство открытых множеств называется открытым покрытием , если

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Если  — покрытие множества , то любое подмножество , также являющееся покрытием , называется подпокры́тием.
  • Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие вписано в покрытие , если
такое, что
  • Покрытие множества называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки существует окрестность , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов , то есть множество конечно.
  • Покрытие множества называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством открыто в , само открыто.
  • называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
  • называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Покрытие (математика) — статья из Математической энциклопедии. А. В. Архангельский, П. С. Солтан