Ортогональные функции

Две вещественные функции $\varphi _{1}(t)$ и $\varphi _{2}(t)$ на интервале $[a,b]$ называются ортогональными, если

$\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}(t)\varphi _{2}(t)\,dt=0$

Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определенным весом. Ортогональны с весом w функции f и g, если

Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \ \int\limits_\Omega \langle f(x),g(x)\rangle w(x) d\Omega = 0}

где $\langle f(x),g(x)\rangle$ — скалярное произведение векторов f(x) и g(x) — значений векторнозначных функций f и g в точке x, x — точка области Ω, а dΩ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных f(x), g(x) скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных f(x), g(x): $\langle f(x),g(x)\rangle ={\bar {f}}(x)g(x)$.

Пример

1. $\sin 2\pi fx$ и $\cos 2\pi fx$ являются ортогональными функциями на интервале $[0,T],T=1/f$
2. $\sin 2\pi f_{n}x$, $\cos 2\pi f_{n}x$, где $f_{n}=nf_{0}$, $n$ — целое, на интервале $[0,T],T=1/f_{0}$

См. также

• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье