Лемма Жордана: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Danneks (обсуждение | вклад) →Формулировка: пояснения |
Ivbeldiev (обсуждение | вклад) Нет описания правки Метка: визуальный редактор отключён |
||
Строка 4: | Строка 4: | ||
== Формулировка == |
== Формулировка == |
||
Пусть <math>f(z)</math> непрерывна <!-- "Непрерывна в области" заменить на "голоморфна в области, за исключением конечного числа особых точек, не лежащих на вещественной прямой". - Можно не менять, так как добавлено пояснение замкнутая область-->в замкнутой области <math>G =\left\{z\mid\mathrm{Im} z\ge 0,\left|z\right|\ge R_0>0\right\}</math>. Обозначим через <math>C_R</math> [[полуокружность]] <math>|z|=R,\,\mathrm{Im}\,z\ge 0</math>. Пусть также <math>\lim_{R\to\infty}\max_{z\in C_R}\left|f(z)\right|=0.</math> <br/> |
Пусть <math>f(z)</math> непрерывна <!-- "Непрерывна в области" заменить на "голоморфна в области, за исключением конечного числа особых точек, не лежащих на вещественной прямой". - Можно не менять, так как добавлено пояснение замкнутая область-->в замкнутой области <math>G =\left\{z\mid\mathrm{Im} z\ge 0,\left|z\right|\ge R_0>0\right\}</math>. Обозначим через <math>C_R</math> [[полуокружность]] <math>|z|=R,\,\mathrm{Im}\,z\ge 0</math>. Пусть также <math>\lim_{R\to\infty}\max_{z\in C_R}\left|f(z)\right|=0.</math> <br/> |
||
Тогда при <math> |
Тогда при <math>a>0</math> имеем |
||
<math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_{C_R}f(z)e^{ |
<math>\lim_{R\to\infty}\int\limits_{C_R}f(z)e^{iaz}\,dz=0</math> |
||
== Доказательство == |
|||
По определению интеграла |
|||
:<math> \int_{C_R} f(z)e^{iaz}\, dz |
|||
=\int_0^\pi f(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos\theta+i \sin\theta)}\,i Re^{i\theta}\,d\theta |
|||
=R\int_0^\pi f(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta}\,d\theta\,. |
|||
</math> |
|||
Далее, сделаем оценку: |
|||
:<math> I_R:=\biggl|\int_{C_R} f(z)e^{iaz}\, dz\biggr| |
|||
\le R\int_0^\pi\bigl|f(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta} \bigr|\,d\theta |
|||
=R\int_0^\pi \bigl|f(Re^{i\theta})\bigr|\,e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,. |
|||
</math> |
|||
Полагая |
|||
:<math>M_R := \max_{\theta \in [0,\pi]} \left| g \left(R e^{i \theta}\right) \right|,</math> |
|||
получим |
|||
:<math> I_R \le RM_R\int_0^\pi e^{-aR\sin\theta}\,d\theta = 2RM_R\int_0^{\pi/2} e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.</math> |
|||
Функция {{math|sin ''θ''}} вогнута на отрезке {{math|''θ'' ∈ [0, ''π'' ⁄ 2]}}, поэтому при указанных {{math|''θ''}} выполнено неравенство |
|||
:<math>\sin\theta\ge \frac{2\theta}{\pi}.</math> |
|||
Значит, |
|||
:<math>I_R |
|||
\le 2RM_R \int_0^{\pi/2} e^{-2aR\theta/\pi}\,d\theta |
|||
=\frac{\pi}{a} (1-e^{-a R}) M_R\le\frac\pi{a}M_R\,,</math> |
|||
откуда следует требуемое, так как <math>\lim_{R\to\infty}M_R=0.</math> |
|||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 23:58, 1 апреля 2020
Лемма Жордана была предложена Жорданом в 1894 году[1]. Применяется в комплексном анализе совместно с основной теоремой о вычетах при вычислении некоторых интегралов, например, контурных. Имеет три формы[2].
Формулировка
Пусть непрерывна в замкнутой области . Обозначим через полуокружность . Пусть также
Тогда при имеем
Доказательство
По определению интеграла
Далее, сделаем оценку:
Полагая
получим
Функция sin θ вогнута на отрезке θ ∈ [0, π ⁄ 2], поэтому при указанных θ выполнено неравенство
Значит,
откуда следует требуемое, так как
См. также
Примечания
- ↑ Jordan С, Cours d'analyse, t. 2, 2 ed., P., 1894, p. 285-86
- ↑ Математика задачи на интегрирование и дифференцирование. Вычисления несобственного интеграла. Лемма Жордана . Дата обращения: 19 мая 2015. Архивировано из оригинала 20 мая 2015 года.
Ссылки
- 1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве Y / В. И. ЕЛИСЕЕВ. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- ЖОРДАНА ЛЕММА / Е. Д. Соломенцев., Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|