Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Синий график $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ для уравнения $y^{2}=x^{3}-5x$, где $N_{p}$ — количество точек на кривой по модулю $p$.
$X$ находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — $\log(\log(X))$; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае $y^{2}=x^{3}-5x$ ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг $r$ эллиптической кривой $E$ над полем $K$ равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля $L(E,s)$ в точке $s=1$. Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел $B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r}}}$, где значение $B_{E}$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Из численных экспериментов Birch & Swinnerton-Dyer (1965) предположили, что N_p - число целых точек на кривой E с рангом r по модулю p удовлетворяет арифметическому закону:

$\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty$

где C - константа.

Наиболее важным частным результатом по состоянию на 2011 год остаётся доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая $E$ содержит бесконечно много рациональных точек, то $L(E,1)=0$.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых.

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.