Задачи тысячелетия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре (решена)
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в 1 000 000 долларов США. Анонсируя приз, институт Клэя провёл параллель со списком проблем Гильберта, представленным в 1900 году и оказавшим существенное влияние на математику XX века. Из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.

По состоянию на 2014 год только одна из семи проблем тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена (Филдсовская премия за её решение была присуждена Григорию Перельману[1], который отказался от неё[2]).

Список проблем[править | править вики-текст]

Равенство классов P и NP[править | править вики-текст]

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классу NP, второго — классу P. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.

Гипотеза Ходжа[править | править вики-текст]

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.

Гипотеза Пуанкаре (доказана)[править | править вики-текст]

Считается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г. Я. Перельману,[1] опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза Римана[править | править вики-текст]

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно, в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз).[3][4]

Теория Янга — Миллса[править | править вики-текст]

Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для пространства R^4 существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса[править | править вики-текст]

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера[править | править вики-текст]

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.
  2. http://www.gazeta.ru/science/2010/03/23_a_3341933.shtml «Посчитал и отказался». Российский математик Григорий Перельман отказался от премии в $1 млн за решение одной из математических задач тысячелетия.
  3. Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Rules for the Millennium Prizes

Ссылки[править | править вики-текст]