Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса $\mu (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г.

50 первых точек

Определение

$\mu (n)$ определена для всех натуральных чисел $n$ и принимает значения ${-1,\;0,\;1}$ в зависимости от характера разложения числа $n$ на простые сомножители:

• $\mu (n)=1$ если $n$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение $n$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=-1$ если $n$ свободно от квадратов и разложение $n$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=0$ если $n$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают $\mu (1)=1$.

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$.

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа $n$, не равного единице, равна нулю

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases}}$

Отсюда, в частности, следует, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).$

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций $f$ и $g$,

$g(n)=\sum _{d|n}f(d)$

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g(n/d)$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций $f(x)$ и $g(x)$, определеных при $x\geqslant 1$,

$g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)$.

Здесь сумма $\sum _{n\leqslant x}$ интерпретируется как $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$.