Функция Мёбиуса: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Almabot (обсуждение | вклад) м робот добавил: sr:Мебијусова функција |
Michaello (обсуждение | вклад) м Cyrlat: 1 repl; |
||
Строка 46: | Строка 46: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
* {{не переведено|надо = |
* {{не переведено|надо = Свертка Дирихле||есть = :en:Dirichlet convolution}} |
||
[[Категория:Теория чисел]] |
[[Категория:Теория чисел]] |
Версия от 16:40, 22 октября 2009
Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г.
Определение
определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:
- если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
- если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
- если не свободно от квадратов.
По определению также полагают .
Свойства и приложения
Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство .
Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю
Отсюда, в частности, следует, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением
Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций и ,
тогда и только тогда, когда
- .
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций и , определеных при ,
тогда и только тогда, когда
- .
Здесь сумма интерпретируется как .
См. также
- не указано название статьи