Замкнутое множество

Запрос «Замкнутость» перенаправляется сюда. О психологическом термине «Замкнутость» нужна отдельная статья Замкнутость (психология).

За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$. Множество $V\subset X$ называется замкнутым относительно топологии ${\mathcal {T}}$, если существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}},$ такое что $V=X\setminus U$. Множество всех замкнутых множеств данной топологии обычно обозначают как ${\mathrm {Cl} }({\mathcal {T}})$

Операция замыкания

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$ содержащее $U$. Замукание множества $U\subset X$ обычно обозначается ${\bar {U}}$, $\mathop {Cl} U$ или $\mathop {Cl} _{X}U$ если надо подчеркнуть что ${\bar {U}}$ рассматривается как множество в пространстве $X$.

Критерий замкнутости

Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: $U\in \mathrm {Cl} ({\mathcal {T}})\Leftrightarrow \mathrm {cl} \;U=U$.

Примеры

• Пустое множество $\emptyset$ всегда замкнуто.
• Отрезок $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, ибо его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb {Q}$, но не замкнуто в пространстве всех действительных чисел $\mathbb {R}$.

См. также

• Открытое множество