Замкнутое множество: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
ToshaBOT (обсуждение | вклад) м Автоматизированная замена текста (-Действительные числа +Вещественные числа) |
||
Строка 16: | Строка 16: | ||
* Пустое множество <math>\emptyset</math> всегда замкнуто. |
* Пустое множество <math>\emptyset</math> всегда замкнуто. |
||
* Отрезок <math>[a,b] \subset \mathbb{R}</math> замкнут в стандартной топологии на [[Вещественное число|вещественной прямой]], ибо его дополнение открыто. |
* Отрезок <math>[a,b] \subset \mathbb{R}</math> замкнут в стандартной топологии на [[Вещественное число|вещественной прямой]], ибо его дополнение открыто. |
||
* Множество <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнуто в пространстве [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в пространстве всех |
* Множество <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнуто в пространстве [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>. |
||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 03:13, 28 декабря 2010
За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.
Определение
Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое что .
Операция замыкания
Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество содержащее . Замыкание множества обычно обозначается , или если надо подчеркнуть что рассматривается как множество в пространстве .
Критерий замкнутости
Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: .
Примеры
- Пустое множество всегда замкнуто.
- Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, ибо его дополнение открыто.
- Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .