Ортогональные функции

Две вещественные функции $\varphi _{1}(t)$ и $\varphi _{2}(t)$ на интервале $[a,b]$ называются ортогональными, если

$\int \limits _{a}^{b}\!\varphi _{1}(t)\varphi _{2}(t)\,dt=0$

Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом $w$ функции $f$ и $g$, если

$\ \int \limits _{\Omega }\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega =0$

где $\langle f(x),g(x)\rangle$ — скалярное произведение векторов $f(x)$ и $g(x)$ — значений векторнозначных функций $f$ и $g$ в точке $x$, $x$ — точка области $\Omega$, а $d\Omega$ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных $f(x)$, $g(x)$ скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных $f(x)$, $g(x)$: $\langle f(x),g(x)\rangle ={\bar {f}}(x)g(x)$.

Пример

1. $\sin x$ и $\cos x$ являются ортогональными функциями на интервале $[0,\pi ]$
2. $\sin(2\pi knx$) и $\cos(2\pi knx)$, где $n$ — целое ортогональны на интервале $[0,T],T=1/k$
3. $x$ и $1$ ортогональны на интервале $[-1,1]$

См. также

• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье