Функция Мёбиуса: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Отмена 3 вандальных правок участника 94.79.22.113, возврат к версии 13:04, 8 сентября 2010 от участника Teopetuk |
|||
Строка 12: | Строка 12: | ||
== Свойства и приложения == |
== Свойства и приложения == |
||
Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых [[взаимно простые числа|взаимно простых чисел]] <math>a</math> и <math>b</math> выполняется равенство <math>\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)</math>. |
Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых ЁБА [[взаимно простые числа|взаимно простых чисел]] <math>a</math> и <math>b</math> выполняется равенство <math>\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)</math>. |
||
Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа <math>n</math>, не равного единице, равна нулю |
Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа <math>n</math>, не равного единице, равна нулю |
Версия от 18:04, 4 июня 2011
Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г.
Определение
определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:
- если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
- если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
- если не свободно от квадратов.
По определению также полагают .
Свойства и приложения
Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых ЁБА взаимно простых чисел и выполняется равенство .
Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением
Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций и ,
тогда и только тогда, когда
- .
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций и , определенных при ,
тогда и только тогда, когда
- .
Здесь сумма интерпретируется как .
См. также
- не указано название статьи