Замкнутое множество: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
== Замыкание == |
== Замыкание == |
||
[[Замыкание (топология)|Замыканием]] множества <math>U</math> топологического пространства <math>X</math> называют минимальное по включению замкнутое множество <math>Z</math> содержащее <math>U</math>. |
[[Замыкание (топология)|Замыканием]] множества <math>U</math> топологического пространства <math>X</math> называют минимальное по включению замкнутое множество <math>Z</math> содержащее <math>U</math>. |
||
Замыкание множества <math>U \subset X</math> обычно обозначается <math>\bar U</math>, <math>\mathop{\rm Cl}U</math> или <math>\ |
Замыкание множества <math>U \subset X</math> обычно обозначается <math>\bar U</math>, <math>\mathop{\rm Cl}U</math> или <math>\mathrm{Cl}_X U</math>; |
||
последнее обозначение используется если надо подчеркнуть что <math>\bar U</math> рассматривается как множество в пространстве <math>X</math>. |
последнее обозначение используется если надо подчеркнуть что <math>\bar U</math> рассматривается как множество в пространстве <math>X</math>. |
||
Версия от 06:18, 22 ноября 2012
За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства дополнение к которому открыто.
Определение
Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое что .
Замыкание
Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество содержащее . Замыкание множества обычно обозначается , или ; последнее обозначение используется если надо подчеркнуть что рассматривается как множество в пространстве .
Свойства
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда .
Примеры
- Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
- Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
- Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .