Совершенное множество

Совершенное множество — замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры

• Классическим примером нигде не плотного, совершенного множества является Канторово множество.

Свойства

• Всякое непустое совершенное множество евклидова пространства имеет мощность континуума (обобщение теоремы Кантора о том, что каждое совершенное множество на отрезке числовой оси имеет мощность континуума).
• Множество точек конденсации любого множества является совершенным.

Теорема Кантора — Бендиксона

Теорема Кантора — Бендиксона является утверждением о структуре всякого несчётного замкнутого множества. Эта теорема обобщена на случай замкнутых подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа)

Формулировка

Всякое несчётное замкнутое множество $M$ есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

Доказательство

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации $N\subset M$ в силу замкнутости $M$.

Теорема 1

Для того, чтобы точка $a$ была точкой конденсации множества $M$, необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки $a$ содержала несчётное множество точек из $M$.

Пояснения

Рациональной окрестностью точки $a$ называется любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

Доказательство

Необходимость

Пусть $a$ — точка конденсации и $(r',r'')$ — произвольная рациональная окрестность точки $a$. Выберем $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$. Тогда окрестность $(a-\delta ,a+\delta )$ точки $a$ попадёт целиком в $(r',r'')$. Так как $a$ — точка конденсации, то $(a-\delta ,a+\delta )$, а тем самым и $(r',r'')$, будут содержать несчётное множество точек из $M$.

Достаточность

Пусть любая рациональная окрестность точки $a$ содержит несчётное множество точек из $M$. Рассмотрим произвольную окрестность $(a-\delta ,a+\delta )$ точки $a$ и пусть $r'$ и $r''$ — два рациональных числа, расположенные соответственно между $a-\delta$ и $a$ и между $a$ и $a+\delta$. Тогда в окрестность $(a-\delta ,a+\delta )$ попадёт целиком рациональная окрестность $(r',r'')$ а вместе с ней и несчётное множество точек из $M$. Но это значит, что $a$ есть точка конденсации.

Теорема 2

Формулировка

Всякое несчётное множество $M$ содержит несчётное множество своих точек конденсации.

Доказательство

Пусть $R$ — множество точек из $M$, не являющимися точками конденсации множества $M$. Если $R=\varnothing$, то доказывать нечего. Пусть $R\neq \varnothing$ и $x\in R$ . Так как $x$ не является точкой конденсации, то найдется рациональная окрестность $(r'_{x},r''_{x})$ точки $x$, содержащая не более счётного множества точек из $M$, в том числе точек из $R$. Таким образом, все множество $R$ может быть заключено в некоторую систему рациональных интервалов, каждый из которых содержит не более счётного числа точек из $R$. Так как всех рациональных интервалов счётное множество, то отсюда следует, что $R$ также не более чем счётно. Тогда $M\backslash R$ — множество точек конденсации множества $M$ несчетно.

Теорема 3

Формулировка

Множество $N$ точек конденсации несчётного множества $M$ совершенно.

Доказательство

Покажем сначала, что $N$ замкнуто. Пусть $x\in N'$ и $(r'_{x},r''_{x})$ — произвольный рациональный интервал, содержащий точку $x$. Для достаточно малого $\delta$ интервал $(x-\delta ,x+\delta )$ попадёт целиком внутрь $(r'_{x},r''_{x})$. Так как $x$ — предельная точка для множества точек конденсации, то $(x-\delta ,x+\delta )$ содержит хотя бы одну точку конденсации $x_{0}$, а вместе с ней и некоторую окрестность точки $x_{0}$. Но тогда эта окрестность, а следовательно, и $(r'_{x},r''_{x})$, содержит несчётное множество точек из $M$, и поскольку $(r'_{x},r''_{x})$ — произвольная рациональная окрестность точки $x$, то $x$ есть точка конденсации, то есть $x\in N$. Покажем, что $N$ не содержит изолированных точек. Пусть $x_{0}$ — произвольная точка из $N$ и $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ — произвольная окрестность точки $x_{0}$. Тогда эта окрестность содержит несчётное множество точек из $M$ . Рассмотрим несчётное множество $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$. По теореме 1 оно содержит несчётное множество своих точек конденсации. Каждая точка конденсации для $M_{1}$ есть в то же время точка конденсации для $M$. Следовательно, внутрь $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ попадает несчётное множество точек из $N$, и, таким образом, $x_{0}$ не является изолированной точкой этого множества.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968. — С. 79.