Теорема двойственности Фенхеля
Теорема двойственности Фенхеля — это результат в теории выпуклых функций, носящий имя немецкого математика Вернера Фенхеля.
Пусть ƒ — собственная выпуклая функция[англ.] , а g — собственная вогнутая функция на . Тогда, если удовлетворены условия регулярности,
где является выпуклым сопряжением функции ƒ (которое называется преобразованием Фенхеля — Лежандра), а — вогнутым сопряжением функции g. То есть,
Математическая теорема
[править | править код]Пусть X и Y будут банаховыми пространствами, и — выпуклыми функциями, а будет ограниченным линейным отображением. Тогда задачи Фенхеля
удовлетворяют слабой двойственности, то есть . Заметим, что являются выпуклыми сопряжениями функций f и g соответственно, а является сопряжённым оператором. Функция возмущений[англ.] для этой двойственной задачи задаётся формулой .
Предположим, что f, g и A удовлетворяет либо
- f и g полунепрерывны снизу и , где — алгебраическая внутренность[англ.], а , где h — некоторая функция, является множеством , либо
- , где — это точки, где функция непрерывна.
Тогда имеет место сильная двойственность, то есть . Если , то супремум достигается[1].
Одномерная иллюстрация
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/1/1d/FenchelDual02.svg/220px-FenchelDual02.svg.png)
На рисунке иллюстрируется задача минимизации в левой части равенства. Ищется значение переменной x, такой что вертикальное расстояние между выпуклой и вогнутой кривой в точке x настолько мало, насколько возможно. Положение вертикальной прямой на рисунке (примерно) оптимально.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/b/b5/FenchelDual01.svg/220px-FenchelDual01.svg.png)
Следующий рисунок иллюстрирует задачу максимизации на правой стороне равенства выше. Касательные, нарисованные для каждой кривой, имеют одинаковый наклон p. Задача заключается в уточнении значения p таким образом, чтобы две касательные были как можно дальше друг от друга (точнее так, что точки пересечения их с осью y были как можно дальше друг от друга). Механически, можно представить касательные как металлические стержни, соединённые вертикальными пружинами, которые их расталкивают, а параболы ограничивают положение стержней.
Теорема Фенхеля утверждает, что эти две задачи имеют одно и то же решение. Точки, имеющие минимальное вертикальное разделение также являются точками касания для максимально раздвинутых параллельных касательных.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Borwein, Zhu, 2005, с. 135–137.
Литература
[править | править код]- R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. — Princeton University Press, 1996. — С. 327. — ISBN 0-691-01586-4.
- Jonathan Borwein, Qiji Zhu. Techniques of Variational Analysis. — Springer, 2005. — ISBN 978-1-4419-2026-3.