Преобразование Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Лежандра для заданной функции f(x) — это построение функции f^*(p), двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве V, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве V^*, т.е. на пространстве линейных функционалов на пространстве V.

Определение[править | править вики-текст]

Аналитическое определение[править | править вики-текст]

Преобразованием Лежандра функции f, заданной на подмножестве M векторного пространства V, называется функция f^*,определенная на подмножестве M^* сопряжённого пространства V^* по формуле

f^*(p)=\sup_{x\in M} (\left\langle p, x \right\rangle - f(x)),~~ p\in M^*= \left \{p:\sup_{x\in M}(\left\langle p, x \right\rangle-f(x))<\infty \right \},

где \left\langle p, x \right\rangle — значение линейного функционала p на векторе x. В случае гильбертова пространства \left\langle p, x \right\rangle — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в \mathcal R^n, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

f^*(p) = \left\langle p, x \right\rangle - f(x),~~~ p = \frac{\partial f}{\partial x} = \operatorname{grad}f,

причем x нужно выразить через p из второго уравнения.

Геометрический смысл[править | править вики-текст]

Для выпуклой функции  f(x) её надграфик epi \varphi=\{y  | y \ge f(x)\} есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции f(x). Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции f(x) есть естественная область определения её преобразованием Лежандра f^*(p). Если pопорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось y в некоторой единственной точке. Её y-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции f^*(p).

Соответствие x \to p определено однозначно в области, где функция f(x) дифференцируема. Тогда p — касательная гиперплоскость к графику f(x) в точке x. Обратное соответствие p \to  x определено однозначно тогда и только тогда, когда функция f(x) строго выпукла. В этом случае x — единственная точка касания опорной гиперплоскости p с графиком функции f(x).

Если функция f(x) дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие p(x) \leftrightarrow df(x), сопоставляющее гиперплоскости p дифференциал функции f(x) в точке  x . Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции f^*(p) в пространство ковекторов V^*, которыми являются дифференциалы функции f(x).

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика \varphi является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика \varphi. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра все равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Теорема Фенхеля — Моро: для выпуклой полунепрерывной снизу собственной функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, т.е. f^{**}(x) = f(x). Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f*=g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,
    f^{**}(x)=\overline{\operatorname{co}}f(x),
    где \overline{\operatorname{co}}f — выпуклое замыкание функции f.
  2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:
    f(x) + f^*(p)\ge \left\langle p, x \right\rangle, причём равенство достигается только если p = F'(x).
    (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции F(x)=x^a/a, a>1).
  3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия L(t,x,\dot x) по переменной \dot x. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t,x,p), а уравнения Эйлера-Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
  4. Используя тот факт, что p=\nabla_{x}f легко показать, что \nabla_{p}f^{*}(p)=-x

Примеры[править | править вики-текст]

Степенная функция[править | править вики-текст]

Рассмотрим преобразование Лежандра функции f(x)=x^{n}, (n>0, n\ne 1) определенную на \mathbb{R^{+}}. В случае четного n можно рассматривать \mathbb{R}.

p(x)=\frac{df}{dx}= n\cdot x^{n-1}

Отсюда выражаем x=x(p), получаем

x(p)=\left(\frac{p}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

f^{*}(p)=px-f(x)=\left(\frac{p}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}\cdot(n-1)

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра, дает исходную функцию f(x).

Функция многих переменных.[править | править вики-текст]

Рассмотрим функцию многих переменных определенную на пространстве \mathbb{R}^{n} следующего вида:

f(x)=\langle x,Ax \rangle + c

A действительная, положительно определенная матрица, c констанста. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра совпадает с \mathbb{R}^{n}. Для этого нам нужно убедиться в существование экстремума функции \phi = \langle p,x \rangle - \langle x,Ax \rangle - c

\nabla_{x}\phi= p - 2Ax

\nabla_{x}\nabla_{x}\phi = -2A

В силу положительной определенности матрицы A, мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого p существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

f^{*}(p)=\frac{1}{4}\langle p,A^{-1}p \rangle - c

Применения[править | править вики-текст]

Гамильтонова механика.[править | править вики-текст]

В лагранжевой механике, система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи, функция Лагранжа выглядит следующим образом:

L(q,u)=\frac{1}{2}\langle u,Mu \rangle - V(q)

(q,u)\in \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n} , со стандартными, евклидовым скалярным произведением.Матрица M считайется действительной, положительно определенной. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

p=\nabla_{u}L(q,u)\ne 0

Можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

H(p,q)=pq'-L=\frac{1}{2}\langle p,M^{-1}p \rangle - V(q)

Термодинамика.[править | править вики-текст]

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как:

dL=Xdx+Ydy+Zdz+...

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

dE=TdS-PdV

Энергия тут представлена как функция переменных S, V. Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

F=E-TS

dF=-SdT-PdV

В общем случае, если мы хотим перейти от функции L=L(x,y,z,...) к функции L=L(X,y,z,...), то следует сделать преобразование Лежандра:

L(X,y,z,...)=L-xX

dL(X,y,z,...)=-xdX+Ydy+Zdz+...

Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра.[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются W(A), где A - некоторые внешние поля. Преобразованние Лежандра по полю А называют следующую функцию[1]:

\Gamma{(\alpha)}=W(A(\alpha))-\int{dx\cdot\alpha A}

Знак интегрирование обычно не пишут. \alpha определяется следующим выражением[1]:

\alpha(x)=\frac{\delta{W}}{\delta{A(x)}}

\delta означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее W и \Gamma. Действительно:

\delta(x-y)=\frac{\delta{A(x)}}{\delta{A(y)}}=\int{dz \frac{\delta{A(x)}}{\delta{\alpha(z)}} \frac{\delta{\alpha(z)}}{\delta{A(y)}}}=-\int{dz \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta\alpha(x)\delta\alpha(z)}\frac{\delta^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}

Другими словами, функционалы W_{2}=\frac{\delta^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)} и \Gamma_{2}=\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta\alpha(x)\delta\alpha(z)} , с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

W_{2}\cdot\Gamma_{2}=-1

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теориии поля и статистике. — Ленинград, 1976. — С. 81. — 295 с.

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. "Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа", — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Васильев А.Н "Функциональные методы квантовой теории поля и статистики", —1976. — 295 с.