Преобразование Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Лежандра для заданной функции — это построение функции , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве , т.е. на пространстве линейных функционалов на пространстве .

Определение[править | править вики-текст]

Аналитическое определение[править | править вики-текст]

Преобразованием Лежандра функции , заданной на подмножестве векторного пространства , называется функция ,определенная на подмножестве сопряжённого пространства по формуле

,

где — значение линейного функционала на векторе . В случае гильбертова пространства — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в , переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

,

причем нужно выразить через из второго уравнения.

Геометрический смысл[править | править вики-текст]

Для выпуклой функции её надграфик есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции . Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции есть естественная область определения её преобразованием Лежандра Если опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось в некоторой единственной точке. Её -координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции .

Соответствие определено однозначно в области, где функция дифференцируема. Тогда — касательная гиперплоскость к графику в точке . Обратное соответствие определено однозначно тогда и только тогда, когда функция строго выпукла. В этом случае — единственная точка касания опорной гиперплоскости с графиком функции

Если функция дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие сопоставляющее гиперплоскости дифференциал функции в точке . Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции в пространство ковекторов которыми являются дифференциалы функции .

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика . Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра все равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Теорема Фенхеля — Моро: для выпуклой полунепрерывной снизу собственной функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, т.е. . Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f*=g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,
    ,
    где — выпуклое замыкание функции f.
  2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:
    , причём равенство достигается только если p = F'(x).
    (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции F(x)=, a>1).
  3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия по переменной . Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t,x,p), а уравнения Эйлера-Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
  4. Используя тот факт, что легко показать, что

Примеры[править | править вики-текст]

Степенная функция[править | править вики-текст]

Рассмотрим преобразование Лежандра функции , (, ) определенную на . В случае четного n можно рассматривать .

Отсюда выражаем , получаем

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра, дает исходную функцию .

Функция многих переменных.[править | править вики-текст]

Рассмотрим функцию многих переменных определенную на пространстве следующего вида:

действительная, положительно определенная матрица, констанста. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра совпадает с . Для этого нам нужно убедиться в существование экстремума функции

В силу положительной определенности матрицы , мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

Применения[править | править вики-текст]

Гамильтонова механика.[править | править вики-текст]

В лагранжевой механике, система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи, функция Лагранжа выглядит следующим образом:

, со стандартными, евклидовым скалярным произведением. Матрица считайется действительной, положительно определенной. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

,

можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

Термодинамика.[править | править вики-текст]

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как:

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

Энергия тут представлена как функция переменных , . Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

В общем случае, если мы хотим перейти от функции к функции , то следует сделать преобразование Лежандра:

Теория поля. Функциональное преобразование Лежандра.[править | править вики-текст]

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются , где  — некоторые внешние поля. Преобразование Лежандра по полю А называют следующую функцию[1]:

Знак интегрирование обычно не пишут. определяется следующим выражением[1]:

означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее и . Действительно:

Другими словами, функционалы и , с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Ленинград, 1976. — С. 81. — 295 с.

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. "Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа", — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
  • Васильев А.Н "Функциональные методы квантовой теории поля и статистики", —1976. — 295 с.