Хвост распределения

Хвост распределе́ния — участок графика плотности статистического распределения $f(x)$, отвечающий стремлению непрерывной случайной величины $x$ к плюс или минус бесконечности и в целом характеризующийся уменьшением значений $f(x)$ с ростом $|x|$, на которое могут накладываться особенности. Форма фигуры, ограничиваемой указанным участком и осью абсцисс, напоминает вытянутый хвост животного. Граница хвоста $x_{L|R}$ выбирается субъективно. Под хвостом понимается также диапазон изменения $x$, соответствующий хвосту в графическом смысле (то есть $[x_{R};\,+\infty )$ или $(-\infty ;\,x_{L}]$). Если величина $x$ изменяется в конечных пределах, то хвостов у $f$ нет.

Пример графика плотности распределения; хвосты закрашены.

При больших по модулю значениях величины $x$ плотность распределения $f(x)$ во многих практических ситуациях спадает по экспоненциальному закону $f(x)\sim \exp(-a|x|)$ или быстрее (здесь $a=\,$const > 0). Например, для $x\to \pm \infty$ при нормальном распределении и при $x\to +\infty$ для распределения Максвелла убывание $f$ происходит как $f(x)\sim \exp(-a\,x^{2})$. Но встречаются и ситуации так называемых «тяжёлых» хвостов, когда спад идёт медленнее, чем $\sim \exp(-a|x|)$.

Обычно хвост(ы) распределения малозначим(ы) для нормировки, то есть при вычислении интеграла $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ хвостовой вклад пренебрежим. Однако существование хвостов может оказаться весьма принципиальным при более сложных вычислениях, например выражений типа $\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$, где $g(x)$ — некая функция, нарастающая при увеличении $|x|$. Пример крайне высокой значимости хвостов даёт распределение популяции горячих электронов в твердотельных приборах: в таком случае роль $x$ играет энергия электрона $E$ ($E>0$). Величина плотности $f$ на хвосте при высоких $E$ мала, поскольку электронов с такими энергиями почти нет, но оказывается, что именно эти немногочисленные электроны ответственны за деградацию прибора.