Элементарный топос

См. также: Топос Гротендика

Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.

Определение

Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект $\Omega$, называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта $T\colon 1\to \Omega$, называемый истиной (также обозначается $true$), такой что для любого мономорфизма $m\colon A\to B$ существует единственный морфизм $\chi _{m}\colon B\to \Omega$, для которого диаграмма

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал $a^{b}$ любых двух объектов $a$ и $b$ и классификатор подобъектов $\Omega$.

Свойства

• Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.

Примеры

• Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств $A$ и $B$ — это множество $A^{B}$ отображений из $B$ в $A$. Классификатор подобъектов — это множество $\Omega =\{0;1\}$, при этом $m$ — естественное вложение $A$ в $B$, а $\chi _{m}$ — характеристическая функция подмножества $A$ множества $B$, равная 1 на элементах $A$ и 0 на элементах $A\backslash B$. Подобъекты $A$ — это его подмножества.
• Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
• Для любой категории $C$ категория функторов $\left[C,\mathbf {Set} \right]$ является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов $F,G$ функтор морфизмов $[F,G]$ даётся формулой

$[F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))$

Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов $\Omega$ на объекте $c\in C$ равен множеству подфункторов представимого функтора $\mathrm {Hom} (c,\cdot )$.

• Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству $X$ его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, $Ouv(X)$, то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе $[Ouv(X),\mathbf {Set} ]$. Единственное отличие: $\Omega (c)$ есть множество всех подпучков представимого пучка $\mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )$.
• Более общо, для любой категории $C$ с заданной топологией Гротендика $\tau$ категория $\tau$-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
• Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
• P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.