Эпициклическая частота

Эта статья о современном понятии в астрофизике; об устаревшем термине, связанном с движением планет см. Эпицикл.

Эпициклическая частота в астрофизике — характеристика движения тела под воздействием определённого гравитационного потенциала — например, движения звезды в галактике. Если орбита тела мало отличается от круговой, а движение по ней происходит с частотой $\Omega$, то можно считать, что тело совершает малые колебания относительно точки, движущейся по круговой орбите с такой же частотой $\Omega$. Частота таких малых колебаний называется эпициклической частотой и обозначается $\kappa$.

Описание

В астрофизике может рассматриваться движение тела в определённом гравитационном потенциале — например, движение в галактике. Однако даже если гравитационный потенциал является симметричным относительно какой-либо выделенной оси, то уравнения, описывающие движение тела, могут иметь аналитические решения лишь в частных случаях — например, в задаче двух тел, когда вся масса, создающая поле тяготения, находится в одной точке. Это обстоятельство заставляет рассматривать движение в упрощённом виде. Если траектория движения звезды в галактике близка к окружности, то можно рассмотреть круговую орбиту в плоскости галактики, по которой движение происходило бы с той же частотой $\Omega$, и исследовать колебания звезды относительно точки на круговой орбите. Частота таких колебаний в плоскости диска называется эпициклической частотой и обозначается $\kappa$. Например, для потенциала точечной массы, в котором $\Omega \propto R^{-3/2}$ и движение пробного тела происходит в согласии с законами Кеплера, $\kappa =\Omega$. В других случаях, которые могут возникнуть на практике, чаще всего $\Omega \lesssim \kappa \lesssim 2\Omega$.

Рассмотрение задачи в таком виде называется эпициклическим приближением. Название связано с тем, что движение в плоскости галактики относительно кругового движения происходит по эллипсу и тем самым напоминает движение по эпициклу.

Вывод

В общем виде уравнения движения звезды в цилиндрических координатах $R,\theta ,z$ в потенциале $\Phi =\Phi (R,\theta ,z)$ выглядят следующим образом:

${\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=R\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,$

${\frac {d}{dt}}\left(R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\,,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.$

Для осесимметричного потенциала $\Phi =\Phi (R,z)$ второе из этих уравнений переписывается в более простом виде: $R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h$, где $h$ — постоянная, называемая интегралом площадей. Движение по орбите, близкой к круговой, можно рассматривать как сумму кругового движения по орбите вокруг центра галактики в плоскости диска и малых отклонений. В цилиндрических координатах $R,\theta ,z$ движение будет выражено формулами:

$R=R_{0}+\delta R\,,$

$\theta =\theta _{0}+\delta \theta =\omega _{0}(t-t_{0})+\delta \theta \,,$

$z=\delta z\,.$

Здесь $R_{0}$ — радиус соответствующей круговой орбиты, $\theta _{0}$ — азимутальный угол относительно центра галактики, соответствующий движению по окружности. Для заданной орбиты можно определить $R_{0}$ так, чтобы $h$ для круговой орбиты с радиусом $R_{0}$ совпадал с $h$ для заданной. Также при помощи $h$ можно переписать первое уравнение движения.

${\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}={\frac {h^{2}}{R^{3}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\,,$

$R^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=h\,,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,.$

Частота вращения галактики $\omega _{0}$ на радиусе $R_{0}$ определяется как $\omega _{0}=h/R_{0}^{2}$. Рассматривая круговые орбиты, из первого уравнения можно получить следующее выражение, в котором нижний индекс 0 означает взятие производной в точке $R_{0}$:

$h^{2}=-R_{0}^{3}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\,.$

Потенциал $\Phi (R,z)$ можно разложить в ряд по степеням $R-R_{0}$ и $z$ и оставить только первые степени. Тогда получится:

${\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}=\left[1-\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-3}\right]\left({\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}+\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}\right)(R-R_{0})\,,$

${\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0}\left({\frac {R}{R_{0}}}\right)^{-2}\,,$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}z\,.$

Возвращаясь к значениям малых отклонений от кругового движения, можно переписать уравнения как:

${\frac {d^{2}\delta R}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}\delta R\,,$

${\frac {d\delta \theta }{dt}}=-2{\frac {\omega _{0}}{R_{0}}}\delta R\,,$

${\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}\delta z\,.$

Значения, заключённые в скобки, являются отрицательными. Таким образом, эти уравнения описывают малые колебания: можно ввести следующие обозначения:

$\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {3}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}\right)_{0}=-\kappa ^{2}\,,$

$\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)_{0}=-\nu ^{2}\,.$

Тогда решения уравнений примут следующий вид:

$\delta R=a\sin \kappa (t-t_{1})\,,$

$\delta \theta =2{\frac {\omega _{0}}{\kappa R_{0}}}a\cos \kappa (t-t_{1})\,,$

$\delta z=b\sin \nu (t-t_{2})\,.$

В этих формулах $a,b,t_{1},t_{2}$ — постоянные интегрирования. Вид формул означает, что при отклонении от круговой орбиты тело в галактической плоскости движется по эллипсу относительно точки на круговой орбите с частотой $\kappa$, а вдоль оси $z$ совершает гармонические колебания с частотой $\nu$. Величина $\kappa$ и называется эпициклической частотой (иногда радиальной частотой), а $\nu$ — вертикальной частотой, её квадрат называют динамическим параметром и часто обозначают $C^{2}$. Частота колебаний в плоскости и вне плоскости не совпадает, так что орбита в общем случае не является замкнутой.

Применение

Эпициклическую частоту в окрестностях Солнца можно оценить через постоянные Оорта: $\kappa ^{2}=4B(B-A)$. В этой области $\kappa$ равняется приблизительно 32 км/с/кпк и период эпициклических колебаний в окрестностях Солнца равен приблизительно 80 % периода вращения Галактики на том же расстоянии. Динамический параметр $C^{2}$ зависит от наблюдаемой дисперсии скоростей в направлении, перпендикулярном диску Галактики $\sigma _{z}$, и распределением плотности $\rho$:

$C^{2}=-\sigma _{z}^{2}{\frac {\partial ^{2}\ln \rho }{\partial z^{2}}}\,.$

В окрестности Солнца период вертикальных колебаний составляет 45 % периода вращения Галактики. Плотность вещества в диске Галактики вблизи Солнца можно выразить через динамический параметр и постоянные Оорта:

$4\pi G\rho =C^{2}-2(A^{2}-B^{2})\,.$

Оценка плотности, получаемая таким образом, называется динамической и составляет для окрестности Солнца 6⋅10⁻²⁴ г/см³.

Резонансы Линдблада

Потенциал реальных галактик часто не является осесимметричным, и, кроме того, вращается — отклонение от осевой симметрии могут создавать, например, бары. Если отклонение потенциала от осевой симметрии невелико, то его можно представить как сумму осесимметричного потенциала и некоторого возмущения, которое и вращается с угловой скоростью $\Omega _{b}$, как и суммарный потенциал. Из-за малости возмущений движение частиц также можно рассматривать как близкое к круговому с частотой $\Omega _{0}$ на радиусе $R_{0}$, и, следовательно, использовать эпициклическую частоту $\kappa _{0}$. Таким образом, возмущения из-за неосесимметричности потенциала на рассматриваемой орбите действуют с частотой $m(\Omega _{0}-\Omega _{b})$, где $m$ — целое число, соответствующее степени симметрии потенциала: чаще всего рассматривают $m=2$, которое соответствует бару или спиральной структуре, состоящей из двух рукавов. Если эта частота совпадает с $\kappa _{0}$, то между собственными эпициклическими колебаниями и возмущением возникает резонанс, называемый резонансом Линдблада. Если $m(\Omega _{0}-\Omega _{b})=\kappa _{0}$, то это внутренний резонанс Линдблада, если же $m(\Omega _{0}-\Omega _{b})=-\kappa _{0}$ — внешний. Существуют и другие, менее важные резонансы Линдблада, каждый из которых расположен на своём радиусе. В отдельно взятой галактике могут наблюдаться какие-то из них, а может и не обнаруживаться никаких.

Литература

• Binney J., Tremaine S. Galactic Dynamics: Second Edition. — Princeton University Press, 2008. — 903 с. — ISBN 978-0-691-13027-9.