Законы Кеплера
Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге[1]. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609[2] и 1619[3] годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.
Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе , где , — массы планеты и звезды соответственно.
Формулировки
[править | править код]Первый закон Кеплера (закон эллипсов)
[править | править код]Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), — большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно, эллипс превращается в окружность.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
[править | править код]Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за любые равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Третий закон Кеплера (гармонический закон)
[править | править код]Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.
- ,
где и — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
- ,
где — масса Солнца, а и — массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Вывод законов Кеплера из законов классической механики
[править | править код]Вывод Первого закона Кеплера
[править | править код]Рассмотрим движение в полярных координатах , центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).
Пусть — радиус-вектор к планете, за обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём — единичный вектор, перпендикулярный , направленный в сторону увеличения полярного угла . Запишем производные по времени, обозначая их точками:
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:
Или в координатной форме:
Во втором уравнении распишем и :
Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:
Интегрирование которого даст:
Полагая и упрощая логарифмы имеем окончательно
Константа по смыслу является удельным угловым моментом (). Мы показали, что в поле центральных сил он сохраняется.
Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:
И переписать производные, попутно избавляясь от времени
Уравнение движения в направлении тогда запишется:
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
где — универсальная гравитационная константа и — масса звезды.
В результате:
Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:
Избавляясь от которых получим:
И окончательно:
Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:
для констант интегрирования и , зависящих от начальных условий.
Заменяя на 1/ и вводя , имеем окончательно:
Мы получили уравнение конического сечения с параметром и эксцентриситетом и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Вывод Второго закона Кеплера
[править | править код]По определению момент импульса точечного тела с массой и скоростью записывается в виде:
- .
где — радиус-вектор тела, а — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором за время из геометрических соображений равна
- ,
где представляет собой угол между векторами и .
При выводе первого закона было показано, что . То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:
Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.
Получили, что не зависит от времени. Значит постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади — константа.
Вывод Третьего закона Кеплера
[править | править код]Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках (перигелий) и (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках и , запишем
Теперь, когда нашли , мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
Однако полная площадь эллипса равна (что равно , поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно
Заметим, что если масса не пренебрежимо мала по сравнению с , то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы (см. приведённая масса). При этом массу в последней формуле нужно заменить на :
Альтернативный расчёт
[править | править код]- перигелий с радиус-вектором , скоростью ;
- афелий с радиус-вектором , скоростью .
Запишем закон сохранения момента импульса
- и закон сохранения энергии
- ,
где M — масса Солнца.
Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:
- .
Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
- .
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:
где — длина большой полуоси, — длина малой полуоси орбиты.
С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
- .
Следовательно,
- .
Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения
Подставим в формулу площади эллипса:
Откуда окончательно получим:
или в традиционном виде
Примечания
[править | править код]- ↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3rd paperback. — Piscataway, NJ : Rutgers University Press, 2001. — P. 40–41. — ISBN 978-0-8135-2908-0. Источник . Дата обращения: 12 декабря 2021. Архивировано 12 декабря 2021 года.
- ↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.
- ↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Кеплера законы // Энциклопедический словарь юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
- Смородинский Я. A. Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.
- Трефил, Дж. Законы Кеплера : [арх. 28 марта 2016] // Элементы. — Из кн. Трефил Дж. Природа науки. 200 законов мироздания. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Cassel's Laws of Nature: An A–Z of Laws and Principles Governing the Workings of Our Universe. (2002).