Матрица кватернионов: различия между версиями
Перевод en:Quaternionic matrix |
(нет различий)
|
Версия от 20:26, 20 ноября 2011
Матрица кватернионов - это матрица, элементами которой являются кватернионы.
Матричные операции
Кватернионы образуют некоммутативное кольцо и, таким образом, сложение и умножение матриц кватернионов могут быть определены так же, как и для матриц над любым другим кольцом.
Сложение. Сумма двух матриц кватернионов A и B определяется обычным способом как поэлементное сложение:
Умножение. Умножение двух кватернионных матриц A и B также следует обычному определению для матричного умножения. Для того чтобы оно было определено число столбцов матрицы A должно равняться числу столбцов матрицы B. Каждый элемент i-й строки и j-го столбца получаемой матрицы равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы на j-й столбец второй матрицы:
Например, для матриц
the product is
Так как кватернионное умножение коммутативно необходим позаботиться о сохранении порядка сомножителей при вычислении произведения матриц.
Единичным элементом, как и ожидается, будет диагональная матрица I = diag(1, 1, ... , 1). Умножение следует обычным законам ассоциативности и дистрибутивности. След матрицы определяется как сумма её диагональных элементов, но в общем случае:
Левое скалярное произведение определяется как:
Снова, так как умножение не коммутативно, то необходимо побеспокоиться о порядке сомножителей.[1]
Детерминанты
Не существует естественного способа определить детерминант для (квадратной) матрицы кватернионов так, чтобы его значения были кватенионами.[2] Тем не менее могут быть определены комплекснозначные детерминанты.[3] Кватернион a + bi + cj + dk можно представить как комплексную матрицу 2×2:
Так задаётся отображение из Ψmn из кватернионных матриц m на n в комплексные матрицы 2m by 2n посредством замены каждого кватерниона на его представление в виде квадратной матрицы 2 на 2. Комплекснозначный детерминант квадртной матрицы кватернионов A тогда можно определить как det(Ψ(A)). Много обычных правил для детерминантов остаётся верными, в частности n на n матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.
Приложения
Матрицы кватернионов используются в квантовой механике[4] и при рассмотрении задачи многих тел.[5]
Примечания
- ↑ Tapp, Kristopher. Matrix groups for undergraduates. — AMS Bookstore, 2005. — P. 11 ff. — ISBN 0-8218-3785-0.
- ↑ Helmer Aslaksen (1966). "Quaternionic determinants". The Mathematical Intelligencer. 18 (3): 57—65. doi:10.1007/BF03024312.
- ↑ E. Study (1920). "Zur Theorie der linearen Gleichungen". Acta Mathematica (неопр.). 42 (1): 1—61. doi:10.1007/BF02404401.
{{cite journal}}
: Википедия:Обслуживание CS1 (неизвестный язык) (ссылка) - ↑ N. Rösch (1983). "Time-reversal symmetry, Kramers' degeneracy and the algebraic eigenvalue problem". Chemical Physics. 80 (1—2): 1—5. doi:10.1016/0301-0104(83)85163-5.
- ↑ Klaus Gürlebeck. Quaternionic matrices // Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers / Klaus Gürlebeck, Wolfgang Sprössig. — Wiley, 1997. — P. 32–34. — ISBN 978-0-471-96200-7.