Вершинный сепаратор (теория графов): различия между версиями
Jumpow (обсуждение | вклад) Перевод статьи WikipediA "Vertex separator" |
(нет различий)
|
Версия от 20:05, 1 февраля 2014
В теории графов подмножество вершин называется вершинным сепаратором для несвязных вершин и , если удаление из графа разделяет и в две компоненты связности.
Примеры
Предположим, что задана решётка с r строками и c столбцами, тогда полное число n вершин равно r*c. Например, на рисунке, r = 5, c = 8 и n = 40. Если r нечётно, существует одна центральная строка, в противном случае существуют две строки, одинаково близких к центру. Таким же образом, если c нечётно, существует один центральный столбец, в противном случае существуют два столбца, одинаково близких к центру. Выбрав в качестве S одну из этих строк или столбцов, и удалив S из графа, получим разбиение графа на два меньших связных подграфа A и B, каждый из которых содержит максимум n/2 вершин. Если r ≤ c (как на иллюстрации), то выбор центрального столбца даст сепаратор S с r ≤ √n вершинами, и, таким же образом, если c ≤ r, выбор центральной строки даст сепаратор с максимум √n вершинами. Таким образом, любой граф-решётка имеет сепаратор S с размером, не превосходящим √n, удаление которой разделяет граф на две связные компоненты, каждая с размером, не превосходящим n/2.[1]
В качестве другого класса примеров можно использовать свободное дерево T, которое имеет сепаратор S, состоящий из одной вершины, удаление которой разделяет T на две (или более) связные компоненты, каждая из которых имеет размер, не превосходящий n/2. Точнее, существует в точности одна или две вершины, в зависимости от того, является ли дерево центрированным[англ.] или бицентрированным[англ.].[2]
Вопреки приведённым примерам не все вершинные сепараторы сбалансированы, но это свойство наиболее полезно для приложений в информатике.
Минимальные сепараторы
Пусть S — (a,b)-сепаратор, то есть подмножество вершин, разделяющее две несвязные вершины a и b. Тогда S является минимальным (a,b)-сепаратором, если никакое подмножество S не разделяет a и b. Множество S называется минимальным сепаратором, если она является минимальным сепаратором для какой-либо пары (a,b) несвязных вершин. Ниже приведено хорошо известный результат, касающийся характеризации минимальных сепараторов:[3]
Лемма. Вершинный сепаратор S в G минимален тогда и только тогда, когда граф , полученный удалением S из G, имеет две связные компоненты и , такие что каждая вершина в S связна с некоторой вершиной в и некоторой вершиной в .
Минимальные сепараторы образуют алгебраическую систему: Для двух фиксированных вершин a и b заданного графа G (a,b)-сепаратор S можно рассматривать как предшественник другого (a,b)-сепаратора T, если любой путь из a в b попадает в S прежде чем попасть в T. Более строго, отношение предшествования определяется следующим образом: Пусть S и T — два (a,b)-сепаратора в 'G'. Тогда S является предшественником T, что обозначается как , если для любой вершины любой путь, соединяющий x и b содержит вершину из T. Из определения следует, что отношение предшествования является предпорядком на множестве всех (a,b)-сепараторов. Более того, Эскаланте (Escalante 1972) доказал, что отношение предшествования становится полной решёткой, если ограничиться множеством минимальных (a,b)-сепараторов G.
Смотрите также
- Хордальный граф — граф, в котором любой минимальный сепаратор является кликой.
Ссылки
- ↑ George, 1973. Вместо использования строк и столбцов графа, Джордж разделяет граф на четыре части путём объединения строк и столбцов в качестве сепаратора.
- ↑ Jordan, 1869
- ↑ Golumbic, 1980.
References
- F. Escalante. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1972. — Т. 38. — С. 199–220. — doi:10.1007/BF02996932.
- J. Alan George,. Nested dissection of a regular finite element mesh // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1973. — Т. 10, вып. 2. — С. 345–363. — doi:10.1137/0710032. — ..
- Martin Charles Golumbic. Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs. — Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-289260-7..
- Camille Jordan. Sur les assemblages de lignes (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1869. — Т. 70, вып. 2. — С. 185–190.
- Arnold Rosenberg, Lenwood Heath. Graph Separators, with Applications. Springer.. — 2002. — doi:10.1007/b115747.
Для улучшения этой статьи желательно:
|