Предпорядок

Предпоря́док — это бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается $\leqslant,$ тогда аксиомы предпорядка на множестве $M$ принимают вид

$\forall a\in M\colon a\leqslant a$

$\forall a,b,c\in M\colon (a\leqslant b \and b\leqslant c)\Rightarrow(a\leqslant c)$

Теория категорий

В теории категорий с понятием предпорядка связывают обычно две категории: категорию предпорядков и категории, называемые предпорядками.

Предпорядки

Категория $\mathcal P$ называется предпорядком, если для любых двух объектов $a,b\in Ob \mathcal P$ существует не более одного морфизма $f\colon a\to b.$ Если $\mathcal P$ — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

$a \leqslant b \iff \exists f\colon a\to b$

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — это абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру.

• Предпорядок — это скелетная категория.
• Если малая категория $\mathcal C$ полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань.
• Произведение набора (множества, класса и т. п.) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань.
• Начальный объект $0$ в предпорядке $\mathcal P$, если он существует, — это его наименьший объект, так что $\forall a\in\mathcal P\colon 0 \leqslant a.$ Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

Категория предпорядков

Категория предпорядков обозначается обычно $\mathbf{Preord}.$ Объектами категории предпорядков являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Рассмотрим в $\mathbf{Preord}$ подкатегорию малых предпорядков $\mathbf{Preord}_S.$ Это конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором

$U\colon \mathbf{Preord}_S \to \mathbf{Set},$

сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в $\mathbf{Preord}.$ Таким образом, аналогично $\mathbf{Set},$ начальным объектом в $\mathbf{Preord}$ является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением, и т. п.

Связанные определения

• Линейный порядок - это предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:

$\forall a,b\in X\colon (a\leqslant b)\or(b\leqslant a)$

Литература

• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.