Золотая спираль

Приближённая и истинная золотые спирали: зелёная спираль составлена из четвертинок окружностей внутри квадратов, в то время как красная спираль является золотой, спиралью, особым видом логарифмической спирали. Перекрывающиеся секции показаны жёлтым цветом. Длина части спирали внутри большего квадрата находится к длине спирали внутри следующего квадрата в золотой пропорции

В геометрии золотая спираль — это логарифмическая спираль, скорость роста которой равна φ, золотой пропорции.

Формула

Уравнение спирали в полярной системе координат для золотой спирали то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значение коэффициента роста b;:

$r=ae^{b\theta }\,$

или

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

где e — основание натуральных логарифмов, a – произвольная положительная вещественная константа и b такое, что когда θ равен прямому углу:

$e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\varphi$

Таким образом, b определяется формулой

$b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.$

Числовое значение b зависит от того, измеряется угол в градусах или радианах. И поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения b (то есть, b может быть и отрицательным):

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль с использованием четвертинок окружности в квадратах с размерами квадратов, равных числам Фибоначчи. На рисунке показаны квадраты с размерами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и 34.

$|b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468\,$ для θ в градусах;

$|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489\,$ дляθ в радианах (A212225).

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спиралей:

$r=ac^{\theta }\,$

где константа c задаётся формулой:

$c=e^{b}\,$

и для золотой спирали значение c равно

$c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611$

если θ измеряется в градусах, и

$c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.$ (A212224)

если θ измеряется в радианах.

Приближения золотой спирали

Литовская монета

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью . Часто их путают с золотой спиралью.

Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, у которого отношение между длиной и шириной равно золотой пропорции. Этот прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный прямоугольник и его, в свою очередь, разделить тем же образом. После продолжения процесса произвольное число раз, получим почти полное разложение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертинками окружностей. Полученная кривая, хотя и не является настоящей логарифмической спиралью, аппроксимирует золотую спираль (см. рисунок).

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов. (см. второй рисунок).

Спирали в природе

Приближение к логарифмическим спиралям встречаются в природе (например, рукава спиральных галактик или листорасположение). Золотые спирали являются частным случаем логарифмических спиралей. Недавний глубокий анализ спиралей, встречающихся в роговичной эпителии мышей, показал, что встречаются как золотые спирали, так и логарифмические спирали как у галактики M51. Иногда встречаются утверждения, что спиральные галактики и раковины наутилидов чаще встречаются в форме золотой спирали потому что золотая спираль связана с золотым сечением и последовательностью Фибоначчи. На самом деле спиральные галактики и раковины наутилидов (и многих других моллюсков) встречаются в виде логарифмических спиралей, обычно существенно отличных от золотой спирали . Рост в виде логарифмической спирали позволяет моллюску расти не меняя формы.

Смотрите также

• Золотой угол
• Золотое сечение
• Золотойпрямоугольник
• Логарифмическая спираль

Литература

• David Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471270478.
• Ivars Peterson. Sea Shell Spirals. — Society for Science & the Public, 2005-04-01.
• Keith Devlin. The myth that will not go away. — May 2007.
• Jerry Rhee, Talisa Mohammad Nejad , Olivier Comets, Sean Flannery, Eine Begum Gulsoy, Philip Iannaccone , Craig Foster. Promoting convergence: The Phi spiral in abduction of mouse corneal behaviors // Complexity. — 2015. — Т. 20, вып. 3. — С. 22–38. — doi:10.1002/cplx.21562.
• Midhat Gazale. Gnomon: From Pharaohs to Fractals. — Princeton University Press, 1999. — ISBN 9780691005140.
• Charles B. Madden. Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. — High Art Press, 1999. — ISBN 0-9671727-6-4.
• Klaus Mainzer. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. — Walter de Gruyter, 1996. — ISBN 3-11-012990-6.
• Priya Hemenway. Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. — Sterling Publishing Co, 2005. — ISBN 1-4027-3522-7.